Question

已知：如图，P为等边三角形内一点，PA=PC，AD=AC，∠PAD=∠PAB，求证：∠PDA=∠30°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：连接PB，求出AD=AB，根据SAS推出△DAP≌△BAP，根据全等推出∠ADP=∠ABP，根据SSS推出△CBP≌△ABP，根据全等三角形的性质得出∠CBP=∠ABP，即可得出答案．

解答：证明：如图，连接PB，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°，AC=BC=AB，
∵AD=AC，
∴AD=AB，
在△DAP和△BAP中，

AD=AB ∠PAD=∠PAB AP=AP

，
∴△DAP≌△BAP（SAS），
∴∠ADP=∠ABP，
在△CBP和△ABP中，

CP=AP BC=AB BP=BP

，
∴△CBP≌△ABP（SSS），
∴∠CBP=∠ABP，
∵∠ABC=60°，∠ADP=∠ABP，
∴∠ADP=∠ABP=30°．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出∠CBP=∠ABP，∠ADP=∠ABP．