Question

17．如图，P（m，n）是函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象上的一个动点，过点P分别作PA⊥x轴于A、PB⊥y轴于B，PA、PB分别与函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象交于点C、D，连接AB、CD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）在点P移动的过程中，△OCD的面积S是否会发生改变？若不改变，求出S的值；若改变，求出S与m之间的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）首先用m表示出A、C、B、D的坐标，再证明△PCD∽△PAB，得出对应角相等，即可得出结论；
（2）S=S_矩形OAPB-S_△OAC-S_△OBD-S_△PCD，即可得出结果．

解答 （1）证明：根据题意得：四边形OAPB是矩形，
∵P（m，n）在函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象上，
∴n=$\frac{6}{m}$，
∴P（m，$\frac{6}{m}$），
∴A（m，0），C（m，$\frac{2}{m}$），B（0，$\frac{6}{m}$），D（$\frac{m}{3}$，$\frac{6}{m}$），
∴PA=$\frac{6}{m}$，PC=$\frac{4}{m}$，PB=m，PD=$\frac{2}{3}$m，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{\frac{4}{m}}{\frac{6}{m}}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{PD}{PB}$=$\frac{\frac{2}{3}m}{m}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{PD}{PB}$，
∵∠CPD=∠APB，
∴△PCD∽△PAB，
∴∠PCD=∠PAB，
∴AB∥CD；
（2）解：△OCD的面积不变；理由如下：
根据题意得：S=S_矩形OAPB-S_△OAC-S_△OBD-S_△PCD=m•$\frac{6}{m}$-$\frac{1}{2}$•m•$\frac{2}{m}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{m}{3}$•$\frac{6}{m}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{m}$•$\frac{2}{3}m$=6-1-1-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题是反比例函数综合题，考查了点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形面积的计算等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（1）中，需要通过证明三角形相似才能得出结果．