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【题目】已知反比例函数y= 的图象在二四象限,一次函数为y=kx+b(b>0),直线x=1与x轴交于点B,与直线y=kx+b交于点A,直线x=3与x轴交于点C,与直线y=kx+b交于点D.
(1)若点A,D都在第一象限,求证:b>﹣3k;
(2)在(1)的条件下,设直线y=kx+b与x轴交于点E与y轴交于点F,当 = 且△OFE的面积等于 时,求这个一次函数的解析式,并直接写出不等式 >kx+b的解集.

【答案】
(1)

解:证明:∵反比例函数y= 的图象在二四象限,

∴k<0,

∴一次函数为y=kx+b随x的增大而减小,

∵A,D都在第一象限,

∴3k+b>0,

∴b>﹣3k.


(2)

解:由题意知:

①,

∵E(﹣ ,0),F(0,b),

∴SOEF= ×(﹣ )×b= ②,

由①②联立方程组解得:k=﹣ ,b=3,

∴这个一次函数的解析式为y=﹣ x+3,

解﹣ =﹣ x+3得x1= ,x2=

∴直线y=kx+b与反比例函数y= 的交点坐标的横坐标是

∴不等式 >kx+b的解集为 <x<0或x>


【解析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质,求函数的解析式,三角形面积公式的应用,熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键.
【考点精析】通过灵活运用反比例函数的性质,掌握性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小; 当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大即可以解答此题.

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