Question

【题目】定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点．

（1）如图2，数轴上点A、B表示的数分别为-4、12，点D是线段AB的三等分点，求点D在数轴上所表示的数；

（2）在（1）的条件下,点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在数轴上向右运动；点Q从点B出发，在数轴上先向左运动，与点P重合后立刻改变方向与点P同向而行，且速度始终为每秒3个单位长度，点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．

①用含t的式子表示线段AQ的长度；

②当点P是线段AQ的三等分点时，求点P在数轴上所表示的数.

图1

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①4，16-3t或3t-8；②或或

【解析】

（1）根据三等分点的定义，分两种情况：AD=AB时；AD=AB 时，分别在数轴上找到点D的位置即可；

（2）①P、Q两点经过4秒相遇，分相遇前和相遇后两种情况讨论，分别表示出AQ即可；

②根据①中的结论，分相遇前和相遇后两种情况，结合三等分点的定义，一共有四种情况，分别计算即可，最后总结所求结果．

解：（1）根据题意，分情况讨论：

当AD：BD=1：2时，AD=AB=，点D表示的数为-4+=；

当AD：BD=2：1时，AD=AB=，点D表示的数为-4+=，

所以，点D在数轴上所表示的数为或，

故答案为：或；

（2）①P、Q两点经过4秒相遇，相遇时，AP=4，

P、Q相遇前， 当t小于或等于4时，AQ=16-3t；

P、Q相遇后，当t大于4时，AQ=4+3（t-4）=3t-8；

②当P、Q相遇前：若AP=AQ，则t=（16-3t），t=，此时点P表示的数为-；

若AP=AQ，则t=（16-3t），t=，此时点P表示的数为-；

当P、Q相遇后：若AP=AQ，则t=（3t-8），t=，此时点P表示的数为；

若AP=AQ，则t=（3t-8），无解，

综上所述，点P为线段AQ的三等分点时，点P表示的数分别为或或，

故答案为：或或．