Question

（1）抛物线m₁：y₁=a₁x²+b₁x+c₁中，函数y₁与自变量x之间的部分对应值如表：

x	…	﹣2	﹣1	1	2	4	5	…
y1	…	﹣5	0	4	3	﹣5	﹣12	…

设抛物线m₁的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为　　　　　　，点C的坐标为　　　　　　．

（2）将设抛物线m₁沿x轴翻折，得到抛物线m₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂，则当x=﹣3时，y₂=　　　　　　．

（3）在（1）的条件下，将抛物线m₁沿水平方向平移，得到抛物线m₃．设抛物线m₁与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m₃与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m₃于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线m₁的解析式为y₁=﹣x²+2x+3，再配成顶点式可得到P点坐标，然后计算自变量为0时的函数值即可得到C点坐标；

（2）根据抛物线的几何变换得到抛物线m₁与抛物线m₂的二次项系数互为相反数，然后利用顶点式写出抛物线m₂的解析式，再计算自变量为﹣3时的函数值；

（3）先确定A点坐标，再根据平移的性质得到四边形AMKC为平行四边形，根据菱形的判定方法，当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，接着计算出AC=，则CK=，然后根据平移的方向不同得到K点坐标．

【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，4），（2，3）分别代入y₁=a₁x²+b₁x+c₁得，

解得．

所以抛物线m₁的解析式为y₁=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，则P（1，4），

当x=0时，y=3，则C（0，3）；

（2）因为抛物线m₁沿x轴翻折，得到抛物线m₂，

所以y₂=（x﹣1）²﹣4，当x=﹣3时，y₂=（x+1）²﹣4=（﹣3﹣1）²﹣4=12．

故答案为（1，4），（0，3），12；

（3）存在．

当y₁=0时，﹣x²+2x+3=0，解得x₁=﹣1，x₂=3，则A（﹣1，0），B（3，0），

∵抛物线m₁沿水平方向平移，得到抛物线m₃，

∴CK∥AM，CK=AM，

∴四边形AMKC为平行四边形，

当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，而AC==，则CK=，

当抛物线m₁沿水平方向向右平移个单位，此时K（，3）；当抛物线m₁沿水平方向向左平移个单位，此时K（﹣，3）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和菱形的判定；会利用待定系数法求二次函数解析式；会运用数形结合的数学思想方法解决问题．