Question

如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是

AB

上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）当BC=2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；
（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：垂径定理,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）根据垂径定理及勾股定理即可解决问题；
（2）利用三角形的中位线定理即可解决问题；
（3）利用等腰三角形的性质即可解决问题．

解答：解：（1）如图，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=1，
∴BD=

1

2

OB，
∴∠BOD=30°；
由勾股定理得：
OD²=2²-1²=3，
∴OD=

3

；
即线段OD的长和∠BOD的度数分别为

3

、30°．
（2）存在，DE=

2

；
如图，连接AB；
∵∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴AB²=OB²+OA²=8，
∴AB=2

2

；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD=CD，AE=EC，
∴DE是△ABC的中位线，
DE=

1

2

×2

2

=

2

．
（3）存在，∠DOE=45°；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA=OB=OC，
∴∠BOD=∠COD，∠AOE=∠COE，
∴∠DOE=

1

2

∠AOB=45°，
即∠DOE=45°．

点评：该命题以圆为载体，在考查垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理的同时，还渗透了对动态观念、直觉思维等能力的考查；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．