Question

【题目】已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝α．

（1）如图1，α＝70°，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数．

（2）如图2，若∠DOC＝2∠AOD，且α＜80°，求∠EOB的度数（用含α的代数式表示）；

（3）若α＝90°，点F在射线OB上，若射线OF绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180），∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH＝∠AOC时，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）10°；（2）140°﹣α；（3）OF旋转的角度为72°或者168°．

【解析】

（1）根据角平分线的定义即可得到结论；

（2）根据角的和差即可得到结论；

（3）①当∠DOE在∠AOC内部，当∠DOE在射线OC的两侧，根据题意列方程即可得到结论．

解：（1）∵OD平分∠AOC，

∴∠AOD＝∠COD＝60°，

∵∠DOE＝70°，

∴∠COE＝10°，

∴∠EOB＝180°﹣120°﹣10°＝50°；

（2）∵∠DOC＝2∠COE，

∴∠DOC＝80°，

∴∠EOC＝80°﹣α，

∵∠COB＝60°，

∴∠EOB＝140°﹣α；

（3）①当∠DOE在∠AOC内部，

令∠AOD＝x°，则∠AOF＝2x°，

∠EOC＝120﹣x°﹣90°＝30°﹣x°，

∠EOH＝（30°﹣x），

∴∠HOF＝（30°﹣x）+90°+x°+2 x°＝120°，

解得：x＝6，

则∠BOF＝180°﹣2x＝168°；

②当∠DOE在射线OC的两侧，

令∠AOD＝x°，则∠AOF＝2x°，∠COD＝120﹣x°，

∠EOC＝90°﹣（120﹣x°）＝x°﹣30°，

∠EOH＝（x°﹣30°），

∠EOB＝90°﹣x°，∠BOF＝180°﹣2x，

∴∠HOF＝（x°﹣30°）+90°﹣x+180°﹣2x＝120°，

解得：x＝54，

则∠BOF＝180°﹣2x＝72°，

综上所述得：OF旋转的角度为72°或者168°．