【题目】在中,以为斜边,作直角,使点落在内,.
(1)如图1,若,,,点,、分别为,的中点,连接,求线段的长;
(2)如图2,若,把绕点递时针旋转一定角度,得到,连接并延长变于点,求证:;
(3)如图3,若,过点的直线交于点,交于点,,且,请直接写出线段、、之间的关系(不需要证明).
【答案】(1) (2)见解析,(3)
【解析】
(1)在直角三角形中,利用锐角三角函数求出AB,得到利用三角形中位线的性质即可得到答案;
(2)先利用互余判断出,∠BDP=∠PEC,得到△BDP和△CEQ全等,再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC,即可得到答案;
(3)连接AF,利用线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等,判断出∠AFB=90°,利用勾股定理即可得到答案.
解:(1)∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,,
∴cos∠BAD,
∴AC=AB=12,
∵点P、M分别为BC、AB边的中点,
∴PM=AC=6,
(2)如图2,
在ED上截取EQ=PD,
∵∠ADB=90°,
∴∠BDP+∠ADE=90°,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∵把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ACE,
∴∠AEC=∠ADB=90°
∵∠AED+∠PEC=90°,
∴∠BDP=∠PEC,
在△BDP和△CEQ中,
,
∴△BDP≌△CEQ,
∴BP=CQ,∠DBP=∠QCE,
∵∠CPE=∠BDP+∠DBP,
∠PQC=∠PEC+∠QCE,
∴∠EPC=∠PQC,
∴PC=CQ,
∴BP=CP
(3)
理由:如图3,
连接AF,
∵EF⊥AC,且AE=EC,
∴FA=FC,∠FAC=∠FCA,
∵EF⊥AC,且AE=EC,
∴∠DAC=∠DCA,DA=DC,
∵AD=BD,
∴BD=DC,
∴∠DBC=∠DCB,
∵∠FAC=∠FCA,∠DAC=∠DCA,
∴∠DAF=∠DCB,
∴∠DAF=∠DBC,
∴∠AFB=∠ADB=90°,
在Rt△ADB中,DA=DB,
∴
在Rt△ABF中,
∵FA=FC
∴
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【题目】如图,直线y=x与双曲线y=(k>0,x>0)交于点A,将直线y=x向上平移2个单位长度后,与y轴交于点C,与双曲线交于点B,若OA=3BC,则k的值为____.
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【题目】[阅读理解]
我们知道:,那么结果等于多少呢?
在图1所示的等边三角形数阵中,第行的一个小等边三角形中的数为,即第行的三个小等边三角形中的数的和是即; ..第行的个小等边三角形中的数的和是个,即,该等边三角形数阵中共有小等边三角形,所有小等边三角形数的和为.
[规律探究]
以图1中的等边三角形数阵的右底角顶点为旋转中心顺时针旋转再把旋转后的图形按同样的方法可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个等边三角形数阵各行同一位置的小等边三角形中的数,发现位于奇数位置的三个数(如第行的第个小三角形中的数分别为的和为;发现位于偶数位置的三个数(如第行的第个小三角形中的数分别为的和为;而每个等边三角形数阵中,由于位于奇数位置的数比位于偶数位置的数多个,则位于偶数位置的数有_
个
因此,
[解决问题]根据以上发现,计算:
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【题目】对于二次函数,下列说法正确的个数是( )
①对于任何满足条件的,该二次函数的图象都经过点和两点;
②若该函数图象的对称轴为直线,则必有;
③当时,随的增大而增大;
④若,是函数图象上的两点,如果总成立,则.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,已知是的直径,点在上,是的切线,于点,是延长线上一点,交于点,连接,.
(1)求证:平分;
(2)若,,
①求的度数;
②若的半径为2,求线段的长.
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【题目】如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为_____.
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【题目】如图,已知,M,N分别为锐角∠AOB的边OA,OB上的点,ON=6,把△OMN沿MN折叠,点O落在点C处,MC与OB交于点P,若MN=MP=5,则PN=( )
A.2B.3C.D.
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【题目】某校对交通法则的了解情况在全校随机调查了部分学生,调查结果分为四种:.非常了解,.比较了解,.基本了解,.不太了解,并将此次调查结果整理绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图.
(1)本次共调查_______名学生;扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数是_______;
(2)补全条形统计图;
(3)学校准备从甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛,请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率.
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【题目】某校七年级10个班的300名学生即将参加学校举行的研究旅行活动,学校提出以下4个活动主题:A.赤水丹霞地貌考察;B.平塘天文知识考察;C.山关红色文化考察;D.海龙电土司文化考察,为了解学生喜欢的活动主题,学生会开展了一次调查研究,请将下面的过程补全
(1)收集数据:学生会计划调查学生喜欢的活动主题情况,下面抽样调查的对象选择合理的是______.(填序号)
①选择七年级3班、4班、5班学生作为调查对象
②选择学校旅游摄影社团的学生作为调查对象
③选择各班学号为6的倍数的学生作为调查对象
(2)整理、描述数据:通过调査后,学生会同学绘制了如下两幅不完整的统计图,请把统计图补充完整
某校七年级学生喜欢的活动主题条形统计图某校七年级学生喜欢的活动主题扇形统计图
(3)分析数据、推断结论:请你根据上述调查结果向学校推荐本次活动的主题,你的推荐是______(填A-D的字母代号),估算全年级大约有多少名学生喜欢这个主题活动
(4)若在5名学生会干部(3男2女)中,随机选取2名同学担任活动的组长和副组长,求抽出的两名同学恰好是1男1女的概率.
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