Question

19．已知x₁，x₂是一元二次方程x²+4x-3=0的两个实数根，求下列各式的值．
（1）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ 
（2）（x₁-1）（x₂-1）
（3）（x₁-x₂）²
（4）$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}^{2}}$．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得x₁+x₂=-4，x₁x₂=-3，利用代数式变形分别得到$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=-4，x₁x₂=-3，
（1）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（-4）^{2}-2×（-3）}{-3}$=-$\frac{22}{3}$；
（2）（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-3+4+1=2；
（3）（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（-4）²-4×（-3）=28；
（4）$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}^{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$=$\frac{（-4）^{2}-2×（-3）}{（-3）^{2}}$=$\frac{22}{9}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．