Question

【题目】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BCA=90°，BC=AC，直角顶点C在y轴上，锐角顶点A在x轴上．
（1）如图①，若点C的坐标是（0，-1），点A的坐标是（-3，0），求B点的坐标；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴于E，问AD与BE有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，直角边AC在两坐标轴上滑动，使点B在第四象限内，过B点作BF⊥x轴于F，在滑动的过程中，猜想OC、BF、OA之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）（1，2）；（2）AD=2BE，理由见解析；（3）OC=BF+OA，证明见解析；

【解析】

（1）如图①，过B作BG⊥y轴于G，证明△AOC≌△CGB（AAS），得AO=CG=3，OC=BG=1，表示点B的坐标；
（2）如图②，延长BE、AC交于H，证明△AEB≌△AEH（ASA），得BE=EH，即BH=2BE，再证明△ACD≌△BCH（ASA），可得结论；
（3）如图③，过C作CM⊥BF，交FB的延长线于M，证明△AOC≌△BMC（AAS），四边形OCMF为矩形，根据线段的和可得结论．

（1）如图①，过B作BG⊥y轴于G，

∵点C的坐标是（0，-1），点A的坐标是（-3，0），
∴OC=1，OA=3，
∵∠BCA=90°，
∴∠ACO+∠BCG=90°，
∵∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠ACO=∠CBG，
∵AC=BC，∠AOC=∠BGC=90°，
∴△AOC≌△CGB（AAS），
∴AO=CG=3，OC=BG=1，
∴OG=3-1=2，
∴B（1，2）；
（2）如图②，AD=2BE，
理由是：延长BE、AC交于H，

∵BE⊥x轴，
∴∠AEB=∠AEH=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AE=AE，
∴△AEB≌△AEH（ASA），
∴BE=EH，即BH=2BE，
∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，
∴∠CAD=∠CBH，
∵AC=BC，∠ACD=∠BCH=90°，
∴△ACD≌△BCH（ASA），
∴AD=BH=2BE；
（3）OC=BF+OA，
理由是：如图③，过C作CM⊥BF，交FB的延长线于M，

同理可得：△AOC≌△BMC（AAS），
∴AO=BM，OC=CM，
∵∠COF=∠OFM=∠M=90°，
∴四边形OCMF为矩形，
∴FM=OC，
∴FM=BF+BM，
∴OC=BF+OA．