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【题目】已知菱形ABCD中,AB=8,点G是对角线BD上一点,CGBA的延长线于点F.

(1)求证:CG2=GEGF;

(2)如果DG=GB,且AGBF,求cosF.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

(1)利用菱形的性质易证ADG≌△CDG,由全等三角形的性质可得:∠DAG=∠DCG,再根据菱形的性质可得∠F=∠DCG=∠DAG,所以GAE∽△GFA,由相似三角形的性质即可证明CG2=GEGF;
(2)易证DAG∽△DBA,由相似三角形的性质可得AD2=DGBD,再利用已知条件可证明∠ABD=∠DAG=∠F,进而可得到cosF=cos∠ABG的值.

∵四边形ABCD是菱形,

CD=AD,∠CDG=ADG

在△ADG和△CDG中,

∴△ADG≌△CDGSAS),

∴∠DAG=DCGCG=AG

BFCD

∴∠F=DCG=DAG

∴△GAE∽△GFA

AG2=GEGF

CG2=GEGF

2)∵BFCDDG=GB

BF=2CD=16AF=8

∴∠ABD=DAG=F

∴△DAG∽△DBA

AD2=DGBD

DG=BG=

cosF=cosABG=

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捐款数额

10

20

30

50

100

人数

2

4

5

3

1

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