Question

【题目】如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．

（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系并说明理由；

（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？说明理由；

（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给出证明。

Answer 1

【答案】（1）OD+OE=OC，证明详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析.

【解析】

(1)先判断出∠OCE=60°,再利用特殊角的三角函数得出OD=OC, 同理：OE=OC ,进而得出结论;(2)同(1)的方法得出OF+OG=OC,再判断出△CFD≌△CGE,得出DF=EG,最后根据等量代换求解；(3)同(2)的方法得出结论即可.

解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，

∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，

在Rt△OCD中，OD=OCcos30°=OC，

同理：OE=OC，∴OD+OE=OC；

（2）（1）中结论仍然成立，理由：

过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，

∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，

同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，

∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，

∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，

∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，

∴OD+OE=OC；

（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，

理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，

∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，

同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，

∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，

∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，

∴OE﹣OD=OC．