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【题目】已知:∠AOB=30°,点P是∠AOB 内部及射线OB上一点,且OP=10cm

1)若点P在射线OB上,过点P作关于直线OA的对称点,连接OP 如图①求P的长.

2)若过点P分别作关于直线OA、直线OB的对称点,连接OO如图②, 的长.

3)若点P在∠AOB 内,分别在射线OA、射线OB找一点MN,使PMN的周长取最小值,请直接写出这个最小值.如图③

【答案】1= 10cm;(2= 10cm;(3)最小值是10cm.

【解析】

1)根据对称的性质可得OP=O,∠PO=2AOB=60° ,从而证出PO是等边三角形,然后根据等边三角形的性质即可得出结论;

2)根据对称的性质可得OP=OOP=O ,∠PO=2AOP ,∠ PO=2BOP,然后证出PO是等边三角形即可得出结论;

3)过点P分别作关于直线OA、直线OB的对称点,连接OO分别交OAOB于点MN,连接PMPN,根据两点之间线段最短即可得出此时PMN的周长最小,且最小值为的长,然后根据(2)即可得出结论.

解:(1 P 关于直线OA对称,∠AOB=30°

OP=O,∠PO=2AOB=60°

PO是等边三角形

OP=10cm

= 10cm

2 P 关于直线OA对称,点P关于直线OB对称,∠AOB=30°

OP=OOP=O ,∠PO=2AOP ,∠ PO=2BOP

O=O,∠O=PO+∠ PO=2(∠AOP+∠BOP=2AOB=60°

PO是等边三角形

OP=10cm

= 10cm

3)过点P分别作关于直线OA、直线OB的对称点,连接OO分别交OAOB于点MN,连接PMPN,如下图所示

根据对称的性质可得PM=MPN=N

PMN的周长=PMPNMN=MNMN=,根据两点之间线段最短可得此时PMN的周长最小,且最小值为的长

由(2)知此时=10cm

PMN的周长最小值是10cm

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