【题目】已知:∠AOB=30°,点P是∠AOB 内部及射线OB上一点,且OP=10cm.
(1)若点P在射线OB上,过点P作关于直线OA的对称点,连接O、P, 如图①求P的长.
(2)若过点P分别作关于直线OA、直线OB的对称点、,连接O、O、如图②, 求的长.
(3)若点P在∠AOB 内,分别在射线OA、射线OB找一点M,N,使△PMN的周长取最小值,请直接写出这个最小值.如图③
【答案】(1)= 10cm;(2)= 10cm;(3)最小值是10cm.
【解析】
(1)根据对称的性质可得OP=O,∠PO=2∠AOB=60° ,从而证出△PO是等边三角形,然后根据等边三角形的性质即可得出结论;
(2)根据对称的性质可得OP=O,OP=O ,∠PO=2∠AOP ,∠ PO=2∠BOP,然后证出△PO是等边三角形即可得出结论;
(3)过点P分别作关于直线OA、直线OB的对称点、,连接O、O、,分别交OA、OB于点M、N,连接PM、PN,根据两点之间线段最短即可得出此时△PMN的周长最小,且最小值为的长,然后根据(2)即可得出结论.
解:(1) ∵ 点P与 关于直线OA对称,∠AOB=30°
∴ OP=O,∠PO=2∠AOB=60°
∴ △PO是等边三角形
∵ OP=10cm
∴ = 10cm
(2) ∵ 点P与 关于直线OA对称,点P与关于直线OB对称,∠AOB=30°
∴ OP=O,OP=O ,∠PO=2∠AOP ,∠ PO=2∠BOP
∴ O=O,∠O=∠PO+∠ PO=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=60°
∴ △PO是等边三角形
∵ OP=10cm
∴ = 10cm
(3)过点P分别作关于直线OA、直线OB的对称点、,连接O、O、,分别交OA、OB于点M、N,连接PM、PN,如下图所示
根据对称的性质可得PM=M,PN=N
∴△PMN的周长=PM+PN+MN=M+N+MN=,根据两点之间线段最短可得此时△PMN的周长最小,且最小值为的长
由(2)知此时=10cm
∴△PMN的周长最小值是10cm.
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【题目】如图,直线y=-x+2分别交x轴、y轴于点A,B,点D在BA的延长线上,OD的垂直平分线交线段AB于点C.若△OBC和△OAD的周长相等,则OD的长是( )
A. 2B. 2C. D. 4
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【题目】如图,小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离,在点A处测得∠BAD=37°,沿AD方向前进150米到达点C,测得∠BCD=45°. 求小岛B到河边公路AD的距离.
(参考数据:sin37°≈ 0.60,cos37° ≈ 0.80,tan37° ≈0.75)
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,高AD、BE相交于点H,BC=4,在BE上截取BG=2,以GE为边作等边三角形GEF,则△ABH与△GEF重叠(阴影)部分的面积为_____.
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【题目】如图,直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与⊙O相交于点Q.是否存在点P,使得QP=QO;若存在,求出相应的∠OCP的大小;若不存在,请简要说明理由.
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【题目】如图,△中,、的角平分线、交于点,延长、,,,则下列结论中正确的个数是( )
①CP平分∠ACF; ②∠ABC+2∠APC=180°;
③∠ACB=2∠APB; ④若PM⊥BE,PN⊥BC,则AM+CN=AC;
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】一天课间,顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两根柱子之间,如图所示,这一幕恰巧被数学老师看见了,于是有了下面这道题.
(1)求证:△ADC≌△CEB;
(2)如果每块砖的厚度a=10cm,请你帮小明求出三角板ABC的面积.
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【题目】已知,如图,抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点,点A在点B左侧,点B的坐标为(1,0)、C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值.
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?如存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品,经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示:快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费;超过1千克,超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示:按每千克16元收费,另加包装费3元.设小明快递物品x千克.
(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式;
(2)小明选择哪家快递公司更省钱?
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