Question

【题目】如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO；④AO+AP=AC；其中正确的有________.(填上所有正确结论的序号)

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

连接，证明，利用等腰三角形的性质可判断结论①；由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO与∠DCO的和等于30°，再证明是等边三角形，可判断结论②，③；, 在线段AC上截取AE=AP，连接PE，证明△APO≌△EPC可判断结论④．

解：如图，连接

∵AD⊥BC，

是的中垂线，，

即结论①正确；

连接BO，如图1所示：

由

是等边三角形，

即结论②正确；

是等边三角形，

即结论③正确；

在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图所示：

∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，

∴∠CAP=60°，

∴△APE是等边三角形，

∴AP=EP，

又∵△OPC是等边三角形，

∴OP=CP，

又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，

∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，

∴∠APO=∠EPC，

在△APO和△EPC中，

，

∴△APO≌△EPC（SAS），

∴AO=EC，

又∵AC=AE+EC，AE=AP，

∴AC=AO+AP， 即结论④正确；

综合所述，①，②，③，④都正确，

故答案为：①，②，③，④．