Question

9．如图，△AOB中，OB=OA，∠AOB=90°，AD平分∠OAB交OB于D，OE⊥AD交AB于E，垂足为F，下列结论：
①OF=EF；②OB=BE；③AB=OB+OD；④AD-OE=2DF，
其中正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由已知条件和三角形内角和定理证出∠AEO=∠AOE，得出AE=AO，由等腰三角形的三线合一性质得出OF=EF，①正确；由大角对大边得出②不正确；
证出DE=DO，BE=DE，得出③正确；在AF上截取FM=DF，连接OM，由ASA证明△AOM≌△OBE，得出AM=OE，得出AD-OE=2DF，④正确；即可得出结论．

解答 解：∵AD平分∠OAB，OE⊥AD，
∴∠EAF=∠OAF，∠AFE=∠AFO=90°，
∴∠AEO=∠AOE，
∴AE=AO，
∴OF=EF，①正确；
∵∠BEO＞∠BOE，
∴OB＞BE，②不正确；
连接DE，如图1所示：
∵AE=AO，∠AEO=∠AOE，
∵AD⊥OE，EF=FO，
∴DE=DO，
∴∠DEO=∠DOE，
∵∠AEO=∠AOE，
∴∠AED=∠AOB=90°，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴∠B=45°，
∴∠EDB=∠AEO-∠B=90°-45°=45°=∠B，
∴BE=DE，
∴OD=BE，③正确．
在AF上截取FM=DF，连接OM，如图2所示：
∵OB=OA，∠AOB=90°，
∴∠B=∠OAB=45°，
∵AD平分∠OAB，
∴∠EAF=∠OAF=22.5°，
∵AD⊥OE，
∴∠DOF=∠OAF=22.5°，
∵FM=DF，
∴OM=OD，
∴∠MOF=∠DOF=22.5°，
∴∠DOM=45°，
∴∠AOM=45°，
在△AOM和△OBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠BOE}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\\{∠AOM=∠B}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△OBE（ASA），
∴AM=OE，
∴AD-OE=AD-AM=DM=2DF，④正确；
正确的是①③④；
故选：B．

点评 本题考查了角平分线、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．