Question

4．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向△ABC外侧作△ABD，使得∠ADB=120°，再以点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，则下列结论：
①D、A、E三点共线；②△CDE为等边三角形；③DC平分∠BDA；④DC=DB+DA，其中正确的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 由△ABC为等边三角形得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，由∠ADB=120°得到∠1+∠2=60°，再根据旋转的性质得∠ACB=60°，即旋转角等于60°，CD=CE，∠CAE=∠CBD=∠1+60°，于是可计算出∠DAE=180°，则可对①进行判断；由∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，根据等边三角形的判定可对②进行判断；由△CDE为等边三角形得∠4=60°，于是可得∠3=60°，则可对③进行判断；根据旋转的性质得AE=DB，根据等边三角形的性质得CD=DE，所以CD=DE=DA+AE=DA+BD，则可对④进行判断．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠ADB=120°，
∴∠1+∠2=60°，
∵点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，
∴∠ACB=60°，即旋转角等于60°，CD=CE，∠CAE=∠CBD=∠1+∠CBA=∠1+60°，
∵∠CAE+∠BAC+∠2=∠1+60°+60°+∠2=180°，即∠DAE=180°，
∴D、A、E三点共线，所以①正确；
∵∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，
∴△CDE为等边三角形，所以②正确；
∵△CDE为等边三角形，
∴∠4=60°，
∴∠3=60°，
∴DC平分∠BDA，所以③正确；
∵△CDE为等边三角形，
∴CD=DE，
而点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，
∴AE=DB，
∴DE=DA+AE=DA+BD，
∴DC=DB+DA，所以④正确．
故选A．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．