Question

15．在△ABC中，AD，BE分别为边BC，AC上的高，直线AD与直线BE相交于点H．若BH=AC=5，CD=4，求AE的值．

Answer 1

分析 先根据题意画出图形，然后利用勾股定理求得AD=3，依据AAS可证明△HBD≌△CAD，从而得到DC=DH=4，故此AH=1，然后利用锐角三角函数的定义可求得AE=$\frac{3}{5}$AH．

解答 解：如图所示：

∵AD是△ABC的高线，
∴AD⊥DC．
∴∠ADC=90°．
在Rt△ADC中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-D{C}^{2}}$=3．
∵BE是△ABC的高线，
∴BE⊥AC．
∴∠HEA=∠ADC=90°．
又∵∠EAH=∠DAC，
∴∠H=∠C．
在△HBD和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠C}\\{∠BDH=∠CDA}\\{BH=AC}\end{array}\right.$，
∴△HBD≌△CAD．
∴DC=DH=4．
∴AH=1．
∵∠H=∠C，
∴sin∠H=sin∠C=$\frac{3}{5}$．
∴$\frac{AE}{AH}=\frac{3}{5}$，即$\frac{AE}{1}=\frac{3}{5}$．
∴AE=$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，全等三角形的性质可判断，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．