Question

6．如图，将长方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，点B在x轴上，点D在y轴上，AB=8，AD=4．
（1）点C的坐标为（8，4）；
（2）将长方形ABCD沿对角线AC折叠，B点与E点重合
①试找出一个三角形与△AFD全等，并加以证明；
②若求折叠后重叠部分（△ACF）的面积；
③P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥DC于H，PG+PH的值会变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出这个值；
（3）连接DE，试求出直线DE的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特点求解即可；
（2）①由翻折的性质可知∠FAC=∠BAC，由平行线的性质可知∠FCA=∠BOC，从而得到∠FCO=∠FOC，故此FC=AF，然后依据AAS证明△AFD≌CEF；
②由全等三角形的性质可知OF=FC，最后在△DFA中依据勾股定理可求得DF的长，然后依据S_△AFC=S_△DCA-S_△DFA求解即可；
③连接PF，依据S_△PFA+S_△PFC=S_△AFC证明即可；
（3）过点E作EF⊥y轴，利用相似三角形的性质求得AF、EF的长度，从而得的点E的坐标，然后利用待定系数法求得直线DE的解析式即可．

解答 解：（1）∵AB=8，AD=4，
∴点B的坐标为（8，0），点D的坐标为（0，4）．
∵DC∥AB，AD∥BC，
∴点C的坐标为（8，4）．
故答案为：（8，4）．
（2）①由翻折的性质可知：∠FAC=∠BAC．
∵DC∥AB，
∴∠FCA=∠BOC．
∴∠FCO=∠FOC．
∴FC=AF．
在△AFD和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E=90°}\\{∠DFA=∠EFC}\\{AF=FC}\end{array}\right.$，
△AFD≌△CEF．
②∵△AFD≌△CEF，
∴AF=FC．
设DF=x，则AF=FC=8-x．
在△DFA中，由勾股定理得：AF²=AD²+DF²，（8-x）²=4²+x²．
解得：x=3．
∴DF=3．
∵S_△AFC=S_△DCA-S_△DFA，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}DC•AD-\frac{1}{2}DF•AD$=$\frac{1}{2}×8×4-\frac{1}{2}×3×4$=10；
③PG+PH的值不会变化．
理由：如图1所示：连接PF．

∵AF=FC=8-3=5，
∴$\frac{1}{2}OF•PG+\frac{1}{2}FC•PH=10$，即$\frac{1}{2}×5×PG+\frac{1}{2}×5×PH=10$．
∴PG+PH=4．
（3）如图所示：过点E作EF⊥y轴．

由（2）得：AF=5，DF=EF=3．
∵DF∥EF，
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{DF}{EF}=\frac{AF}{AE}$，即$\frac{4}{AF}=\frac{3}{EF}=\frac{5}{8}$．
解得：AF=$\frac{32}{5}$，EF=$\frac{24}{5}$．
∴点D的坐标为（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，将点D、E的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{\frac{24}{5}k+b=\frac{32}{5}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直线DE的解析式为y=$\frac{1}{2}x+4$．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用、翻折的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、等腰三角形的判定、全等三角形的性质和判定，依据勾股定理求得DF的长是解题的关键．