Question

【题目】已知：等腰△DEC，∠DEC＝90°，DE＝EC＝3，已知等腰△AEB，∠AEB＝90°，AE＝BE＝2．

（l）求证：△DEB≌△CEA；

（2）判断BD与AC的关系，并说明理由．

（3）若∠DAE＝90°，请直接写出BC的长，BC＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）BD⊥AC，BD＝AC，理由详见解析；（3）．

【解析】

（1）证明∠AEC＝∠BED，根据SAS可得△DEB≌△CEA；

（2）证明△DEB≌△CEA，得出∠ACE＝∠BDE，AC＝BD，由三角形内角和定理得∠CFB＝∠DEC＝90°，得出AC⊥BD；

（3）由AC⊥BD，可得AB2+CD2＝AD2+BC2，求出AB2，CD2，AD2即可得出答案．

解：（1）证明：∵∠AEB+∠AED＝∠DEC+∠AED，

∴∠AEC＝∠BED，

在△DEB和△CEA中，

，

∴△DEB≌△CEA（SAS），

（2）解：BD⊥AC，BD＝AC，理由如下：

∵△DEB≌△CEA，

∴∠ACE＝∠BDE，AC＝BD，

∵∠AND＝∠CNE，如图所示：

∴由三角形内角和定理得：∠CFB＝∠DEC＝90°，

∴AC⊥BD．

（3）解：∵AC⊥BD，

∴DF2+CF2＝DC2，AF2+BF2＝AB2，

∴AB2+CD2＝DF2+CF2+AF2+BF2＝AD2+BC2，

∵∠DAE＝90°，DE＝3，AE＝2，

∴AD2＝DE2﹣AE2＝9﹣4＝5，

∵∠AEB＝90°，AE＝BE＝2．

∴AB2＝4+4＝8，

∵∠DEC＝90°，DE＝EC＝3，

∴DC2＝9+9＝18，

∴BC2＝AB2+CD2﹣AD2＝8+18﹣5＝21，

∴BC＝．

故答案为：．