【题目】定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3,则BN=________;
(2)如图2,在△ABC中,FG是中位线,点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE≥BD,连接AD,AE分别交FG于点M,N,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点;
(3)如图3,已知点M,N是线段AB的勾股分割点,MN>AM≥BN,四边形AMDC,四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形,点P在边EF上,试探究S△ACN ,S△APB ,S△MBH的数量关系.
S△ACN=________;S△MBH=________;S△APB=________;S△ACN ,S△APB,S△MBH的数量关系是________.
【答案】(1)或;(2)证明见解析;(3)见解析.
【解析】
试题(1)分类讨论:当MN为最大线段时;当BN为最大线段时;即已知的两条线段中较长的线段MN可能为斜边或所求的BN也可能为斜边;
(2)由已知“FG是中位线”得BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG,由D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE>BD得出EC2=DE2+DB2,再分别代换为2NG、2MN、2FM,约去系数4,即可得出结论;
(3)由三角形面积公式,分别表示出S△ACN、S△MBH、S△PAB,观察3个式子中,出现的AM2、BN2 、MN2,可得S△APB=S△ACN+S△MBH.
试题解析:(1)分两种情况:
①当MN为最大线段时,
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点,
∴BN=;
②当BN为最大线段时,
∵点M、N是线段AB的勾股分割点,
∴BN=;
综上所述:BN的长为或.
(2)∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点,
∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线,
∴BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG,
∵点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE>BD,
∴EC2=DE2+DB2 ,
∴4NG2=4MN2+4FM2 ,
∴NG2=MN2+FM2 ,
∴点M,N是线段FG的勾股分割点;
⑶∵四边形AMDC,四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形,
∴S△ACN= (AM+MN)AC= (AM+MN)AM= AM2+ MNAM,
S△MBH= (MN+BN)BH= (MN+BN)BN= BN2+ MNBN,
S△PAB= (AM+NM+BN)FN= (AM+MN+BN)MN= MN2+ /span>MNAM+ MNBN,
∴S△APB=S△ACN+S△MBH ,
故答案为S△APB=S△ACN+S△MBH .
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【题目】学生小明将线段的垂直平分线上的点,称作线段的“轴点”.其中,当时,称为线段的“长轴点”;当时,称为线段的“短轴点”.
(1)如图1,点,的坐标分别为,,则在,,,中线段的“短轴点”是______.
(2)如图2,点的坐标为,点在轴正半轴上,且.
①若为线段的“长轴点”,则点的横坐标的取值范围是( )
A. B. C. D.或
②点为轴上的动点,点,在线段的垂直平分线的同侧.若为线段的“轴点”,当线段与的和最小时,求点的坐标.
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【题目】为评估九年级学生的学习成绩状况,以应对即将到来的中考做好教学调整,某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)本次调查共抽取了多少名学生?
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)该校九年级共有1000人参加了这次考试,请估算该校九年级共有多少名学生的学习成绩达到优秀.
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【题目】定义:若抛物线L2:y=mx2+nx(m≠0)与抛物线L1:y=ax2+bx(a≠0)的开口大小相同,方向相反,且抛物线L2经过L1的顶点,我们称抛物线L2为L1的“友好抛物线”.
(1)若L1的表达式为y=x2﹣2x,求L1的“友好抛物线”的表达式;
(2)已知抛物线L2:y=mx2+nx为L1:y=ax2+bx的“友好抛物线”.求证:抛物线L1也是L2的“友好抛物线”;
(3)平面上有点P(1,0),Q(3,0),抛物线L2:y=mx2+nx为L1:y=ax2的“友好抛物线”,且抛物线L2的顶点在第一象限,纵坐标为2,当抛物线L2与线段PQ没有公共点时,求a的取值范围.
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【题目】如图,铁路上A,B两点相距25 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15 km,CB=10 km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?
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【题目】已知:等腰△DEC,∠DEC=90°,DE=EC=3,已知等腰△AEB,∠AEB=90°,AE=BE=2.
(l)求证:△DEB≌△CEA;
(2)判断BD与AC的关系,并说明理由.
(3)若∠DAE=90°,请直接写出BC的长,BC= .
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【题目】如图,在ABCD中,AB⊥BD,sinA=,将ABCD放置在平面直角坐标系中,且AD⊥x轴,点D的横坐标为1,点C的纵坐标为3,恰有一条双曲线y=(k>0)同时经过B、D两点,则点B的坐标是_____.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与直径AB相交于点F.点E在⊙O外,作直线AE,且∠EAC=∠D.
(1)求证:直线AE是⊙O的切线.
(2)若∠BAC=30°,BC=4,cos∠BAD=,CF=,求BF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知一次函数=的图象经过点A(1,0),与反比例函数=(>0)的图象相交于点B(2,1).
(1)求的值和一次函数的解析式;
(2)结合图象直接写出:当>0时,不等式>的解集.
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