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【题目】定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MNBN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.

(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3,则BN=________;

(2)如图2,在△ABC中,FG是中位线,点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE≥BD,连接AD,AE分别交FG于点M,N,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点;

(3)如图3,已知点M,N是线段AB的勾股分割点,MN>AM≥BN,四边形AMDC,四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形,点P在边EF上,试探究SACN ,SAPB ,SMBH的数量关系.

SACN=________;SMBH=________;SAPB=________;SACN ,SAPB,SMBH的数量关系是________.

【答案】(1);(2)证明见解析(3)见解析.

【解析】

试题(1)分类讨论:MN为最大线段时;BN为最大线段时;即已知的两条线段中较长的线段MN可能为斜边或所求的BN也可能为斜边;

(2)由已知“FG是中位线BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG,由D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE>BD得出EC2=DE2+DB2再分别代换为2NG、2MN、2FM,约去系数4,即可得出结论;

(3)由三角形面积公式,分别表示出S△ACN、S△MBH、S△PAB,观察3个式子中,出现的AM2、BN2 、MN2可得S△APB=S△ACN+S△MBH.

试题解析:(1)分两种情况:

MN为最大线段时,

M、N是线段AB的勾股分割点,

∴BN=

BN为最大线段时,

M、N是线段AB的勾股分割点,

∴BN=

综上所述:BN的长为

(2)∵F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点,

∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线

∴BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG,

D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE>BD,

∴EC2=DE2+DB2 ,

∴4NG2=4MN2+4FM2 ,

∴NG2=MN2+FM2 ,

M,N是线段FG的勾股分割点

⑶∵四边形AMDC,四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形,

∴S△ACN= (AM+MN)AC= (AM+MN)AM= AM2+ MNAM,

S△MBH= (MN+BN)BH= (MN+BN)BN= BN2+ MNBN,

S△PAB= (AM+NM+BN)FN= (AM+MN+BN)MN= MN2+ /span>MNAM+ MNBN,

∴S△APB=S△ACN+S△MBH

故答案为S△APB=S△ACN+S△MBH

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