【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,以点P(﹣3,4)为圆心的⊙P与y轴相切,A是x轴上一动点,过A点的直线与⊙P相切于点B,以AB为边作正方形ABCD,则正方形ABCD面积的最小值为_____.
【答案】7.
【解析】
由切线的性质得到PB⊥AB,则在直角△APB中,AB2=AP2-PB2,PB=3为定值,欲求正方形ABCD面积即AB2的最小值,只需AP取最小值即可,当AP⊥x轴时,AP最小,则易得正方形ABCD面积的最小值.
解:∵以点P(-3,4)为圆心的⊙P与y轴相切,
∴⊙P的半径为3.
如图,连接AP、PB.
∵AB与⊙P相切且点B为切点,
∴PB⊥AB,则在直角△APB中,AB2=AP2-PB2,即AB2=AP2-9.
∵PB=3为定值,
∴当AP取最小值时,AB的值最小.当AP⊥x轴时,AP最小,此时AP=4,
∴AB2=42-9=7.
∴正方形ABCD面积的最小值=AB2=7.
故答案是:7.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形的边长为,点,分别在轴正半轴与轴正半轴上,是对角线.点从点出发向点运动(不与点,重合),到达点时停止运动,射线交轴于点,,交轴于点,交轴于点,连结,.
(1)求证:;
(2)请探究:的面积是否变化?若不变化,试求出的面积;若变化,请说明理由;
(3)当为何值时,是等腰直角三角形;
(4)过点作,垂足为点,请直接写出点运动的路线长.
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【题目】如图,关于的二次函数的图像与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的对称轴与轴交于点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在轴上是否存在一点,使为等腰三角形?若存在,请求出点的坐标;
(3)有一个点从点出发,以每秒1个单位的速度在上向点运动,另一个点从点与点同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点到达点时,点、同时停止运动,问点、运动到何处时,面积最大,试求出最大面积.
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【题目】如图,有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P,轮船沿正南方向航行至B处,测得小岛P在南偏东45°方向上,按原方向再航行10海里至C处,测得小岛P在正东方向上,则A,B之间的距离是( )
A. 10 海里 B. (10-10)海里
C. 10海里 D. (10-10)海里
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【题目】如图,海上有一灯塔P,在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60度的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45度方向. 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?
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【题目】如图,在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)当时,求线段OD的长;
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出是哪条边,并求其长度;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若AB=14,cos∠CAB=,求线段OE的长.
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【题目】如图,Rt△AOB的直角边OA在x轴上,OA=2,AB=1,将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD,抛物线经过B、D两点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)连接BD,点P是抛物线上一点,直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分,求点P的坐标.
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【题目】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度(单位:)与足球被踢出后经过的时间(单位:)之间的关系如下表:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … | |
0 | 8 | 14 | 18 | 20 | 20 | 18 | 14 | … |
下列结论:①足球距离地面的最大高度为;②足球飞行路线的对称轴是直线;③足球被踢出时落地;④足球被踢出时,距离地面的高度是.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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