Question

【题目】如图．在⊙O中. AE直径，AD是弦，B为AE延长线上--点，作BC⊥AD，与AD延长线交于点C．且∠CBD=∠A．

（1）判断直线BD与⊙0的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠A=30 ，OA=6，求图中阴影部分的面积.

Answer 1

【答案】
（1）解：直线BD与⊙O相切． 证明如下：连接OD

． ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A．又∵∠CBD＝∠A ，∴∠CBD＝∠ODA ．
∵BC⊥AD，∴∠C＝90°，∴∠CBD＋∠CDB＝90°，∴∠ODA＋∠CDB＝90°，∴∠ODB＝90°， ∴BD⊥OD．又∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线
（2）解：∵∠A＝30°，∴∠DOB＝60°．
∵OA＝6，∴OD＝6．又由（1），知∠ODB＝90°，∴BO＝12，∴BD＝ ，



【解析】结论：BD是圆的切线，已知此线过圆O上点D，连接圆心O和点D（即为半径），再证垂直即可；
根据勾股定理和扇形、三角形的面积公式计算即可．