【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=BC=10,以AB为直径作⊙O分别交AC,BC于点D,E,连接DE和DB,过点E作EF⊥AB,垂足为F,交BD于点P.
(1)求证:AD=DE;
(2)若CE=2,求线段CD的长;
(3)在(2)的条件下,求△DPE的面积.
【答案】
(1)解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即BD⊥AC
∵AB=BC,
∴BD是等腰△ABC中线,
∴AD=DE;
(2)解:∵四边形ABED内接于⊙O,∴∠CED=∠CAB,
∵∠C=∠C,∴△CED∽△CAB,∴ ,
∵AB=BC=10,CE=2,D是AC的中点,
∴CD= ;
(3)解:延长EF交⊙O于M,
在Rt△ABD中,AD= ,AB=10,
∴BD=3 ,
∵EM⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴ ,
∴∠BEP=∠EDB,
∴△BPE∽△BED,
∴ ,
∴BP= ,
∴DP=BD-BP= ,
∴S△DPE:S△BPE=DP:BP=13:32,
∵S△BCD= × ×3 =15,S△BDE:S△BCD=BE:BC=4:5,
∴S△BDE=12,
∴S△DPE= .
【解析】(1)根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°,再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。
(2)根据圆内接四边形的性质证得∠CED=∠CAB,再根据相似三角形的判定证出△CED∽△CAB,得出对应边成比例,建立关于CD的方程,即可求出CD的长。
(3)延长EF交⊙O于M,在Rt△ABD中,利用勾股定理求出BD的长,再证明△BPE∽△BED,根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长,然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比,再由三角形面积公式即可求解。
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【题目】如图.在⊙O中. AE直径,AD是弦,B为AE延长线上--点,作BC⊥AD,与AD延长线交于点C.且∠CBD=∠A.
(1)判断直线BD与⊙0的位置关系,并证明你的结论;
(2)若∠A=30 ,OA=6,求图中阴影部分的面积.
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【题目】为给研究制定《中考改革实施方案》提出合理化建议,教研人员对九年级学生进行了随机抽样调查,要求被抽查的学生从物理、化学、政治、历史、生物和地理这六个选考科目中,挑选出一科作为自己的首选科目,将调查数据汇总整理后,绘制出了如图的两幅不完整的统计图,请你根据图中信息解答下列问题:
(1)被抽查的学生共有多少人?
(2)将折线统计图补充完整;
(3)我市现有九年级学生约40000人,请你估计首选科目是物理的人数.
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【题目】如图,在矩形中,,,为边上的一点,,动点从点出发,以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动,连接.设点运动的时间为秒.
(1)求的长;
(2)当为多少秒时,是直角三角形?
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【题目】“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决:
(1)我们知道m2+n2=0可以得到m=0,n=0.如果a2+b2+2a﹣4b+5=0,求a、b的值.
(2)已知ax+2017,bx+2015,cx+2016,试问:多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是否与变量x的取值有关?若有关请说明理由;若无关请求出多项式的值.
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【题目】某市为了节约用水,采用分段收费标准.若某户居民每月应交水费y(元)与用水量x(立方米)之间关系的图象如图所示,根据图象回答:
(1)该市自来水收费,每户用水不超过5立方米时,每立方米收费多少元?超过5立方米时,超过的部分每立方米收费多少元?
(2)求出y与x之间的关系式.
(3)若某户居民某月用水量为3.5立方米,则应交水费多少元?若某户居民某月交水费17元,则该户居民用水多少立方米?
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【题目】已知点A在函数y1=﹣ (x>0)的图象上,点B在直线y2=kx+1+k(k为常数,且k≥0)上.若A,B两点关于原点对称,则称点A,B为函数y1 , y2图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )
A.有1对或2对
B.只有1对
C.只有2对
D.有2对或3对
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