Question

16．小明在探究问题“正方形ABCD内一点E到A、B、C三点的距离之和的最小值”时，由于EA、EB、EC比较分散，不便解决．于是将△ABE绕点B逆时针旋转60°得△A′BE′，连接EE′．
（1）△EBE′是等边三角形；
（2）若正方形ABCD的边长为2，则AE+BE+CE的最小值是$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得BE=BE′，∠EBE′=60°，则利用等边三角形的判定可判断△EBE′为等边三角形；
（2）连结A′C，如图，由△EBE′为等边三角形得到EE′=BE，再利用旋转的性质得A′E′=AE，BA′=BA=2，∠ABA′=60°，根据两点之间线段最短得A′E′+E′E+EC≥A′C，所以AE+BE+CE≥AC（当且仅当点E′、点E在AC上时，取等号），则AE+BE+CE有最小值，最小值为A′C的长，作A′H⊥BC于H，如图，先在Rt△A′BH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到A′H=$\frac{1}{2}$A′B=1，BH=$\sqrt{3}$A′H=$\sqrt{3}$，然后在Rt△A′CH中，利用勾股定理可计算出A′C=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，于是得到AE+BE+CE的最小值是$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵△ABE绕点B逆时针旋转60°得△A′BE′，
∴BE=BE′，∠EBE′=60°，
∴△EBE′为等边三角形；
（2）连结A′C，如图，
∵△EBE′为等边三角形，
∴EE′=BE，
∵△ABE绕点B逆时针旋转60°得△A′BE′，
∴A′E′=AE，BA′=BA=2，∠ABA′=60°，
∵A′E′+E′E+EC≥A′C，
∴AE+BE+CE≥AC（当且仅当点E′、点E在AC上时，取等号），
∴AE+BE+CE有最小值，最小值为A′C的长，
作A′H⊥BC于H，如图，
在Rt△A′BH中，∠A′BH=30°，
∴A′H=$\frac{1}{2}$A′B=1，BH=$\sqrt{3}$A′H=$\sqrt{3}$，
∴CH=2+$\sqrt{3}$，
在Rt△A′CH中，A′C=$\sqrt{A′{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2+\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
∴AE+BE+CE的最小值是$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
故答案为：等边，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理．