Question

19．已知抛物线y=ax²-2ax+c与x轴的一个交点为A（-1，0），与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴，以及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）当CO=3时，求抛物线的解析式；
（3）当∠ACB=90°时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线对称轴方程易得抛物线的对称轴为直线x=1，然后根据抛物线的对称性可确定B（3，0）；
（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），然后分别把C（0，3）和（0，-3）代入求出对应的a的值即可得到抛物线解析式；
（3）如图，先证明Rt△AOC∽△COB，利用相似比可计算出OC=$\sqrt{3}$，则C（0，$\sqrt{3}$）或（0，-$\sqrt{3}$），然后与（2）的求法一样．

解答 解：（1）抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∵点A与点B为抛物线上的对称点，
∴B（3，0）；
（2）∵OC=3，
∴C（0，3）或（0，-3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
当C点坐标为（0，3）时，a•1•（-3）=3，解得a=-1，此时抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
当C点坐标为（0，-3）时，a•1•（-3）=-3，解得a=1，此时抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
（3）如图，
∵∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
而∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
∴Rt△AOC∽△COB，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，即$\frac{1}{OC}$=$\frac{OC}{3}$，解得OC=$\sqrt{3}$，
∴C（0，$\sqrt{3}$）或（0，-$\sqrt{3}$），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
当C点坐标为（0，$\sqrt{3}$）时，a•1•（-3）=$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
当C点坐标为（0，-$\sqrt{3}$）时，a•1•（-3）=-$\sqrt{3}$，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程；从二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系数法求抛物线解析式和相似三角形的判定与性质．