Question

17．如图①Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AC的中点，点E是AB上一动点，做∠DEF=45°交BC于点F，连接DF，
（1）直接写出图中的一对相似三角形；
（2）设AE=x，BF=y，求y与x的函数关系式；并计算当x当何值时，y有最值，最值是多少？
（3）如图②，若DE⊥AB，求出DF的长．

Answer 1

分析 （1）如图①中，△ADE∽△BEF．只要证明∠FEB=∠ADE即可．
（2）由△ADE∽△BEF，得$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，即$\frac{2}{4\sqrt{2}-x}$=$\frac{x}{y}$，由此即可解决问题，再利用配方法求出最值即可．
（3）x=AE=DE=$\sqrt{2}$，由y=-$\frac{1}{2}$x²+2$\sqrt{2}$x=3，推出BF=3，CF=BC-BF=1，在Rt△CDF中，利用DF=$\sqrt{C{D}^{2}+C{F}^{2}}$即可解决问题．

解答 解：（1）如图①中，△ADE∽△BEF．理由如下：

∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEF+∠FEB，∠DEF=∠A=45°，
∴∠FEB=∠ADE，
∴△ADE∽△BEF．

（2）∵AC=CB=4，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵D是AC中点，
∴AD=DC=2，
∵△ADE∽△BEF，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，
∴$\frac{2}{4\sqrt{2}-x}$=$\frac{x}{y}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+2$\sqrt{2}$x，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2$\sqrt{2}$x=-$\frac{1}{2}$（x-2$\sqrt{2}$）²+4，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴x=2$\sqrt{2}$时，y有最大值4．

（3）如图②中，

∵DE⊥AB，
∴∠A=∠ADE=45°，
∵AD=DC=2，
∴x=AE=DE=$\sqrt{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+2$\sqrt{2}$x=3，
∴BF=3，CF=BC-BF=1，
在Rt△CDF中，DF=$\sqrt{C{D}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、二次函数的应用、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．