Question

18．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答：
（1）当y=0时，写出自变量x的值．
（2）当y＞0时，写出自变量x的取值范围．
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
（4）若方程ax²+bx+c-k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围（用含a、b、c的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）写出抛物线与x轴交点的横坐标即可；
（2）写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；
（3）根据二次函数的性质求解；
（4）由于方程ax²+bx+c-k=0有两个不相等的实数根，可看作二次函数y=ax²+bx+c与直线y=k有两个交点，则可利用图象法确定k的取值范围．

解答 解：（1）当y=0时，x=1或x=3；
（2）当y＞0时，1＜x＜3；
（3）∵抛物线的开口向下，对称轴为x=2．
∴当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）方程ax²+bx+c-k=0变形为ax²+bx+c=k，所以方程ax²+bx+c-k=0有两个不相等的实数根可看作二次函数y=ax²+bx+c与直线y=k有两个交点，如图，
所以k＜2，
即k＜$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的图象．