Question

已知M是△ABC内的一点，且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为

1

2

，x，y，则

1

x

+

4

y

的最小值是（　　）

• A、20
• B、18
• C、16
• D、9

Answer 1

考点：*平面向量

专题：

分析：利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把

1

x

+

4

y

转化为2（

1

x

+

4

y

）×（x+y），利用基本不等式求得

1

x

+

4

y

的最小值．

解答：解：∵

AB

•

AC

=b•c•cos∠BAC=2

3

，∠BAC=30°，
∴

3

2

bc=2

3

，
∴bc=4，
∴S_△ABC=x+y+

1

2

=

1

2

bcsin∠BAC=1，
∴x+y=

1

2

，
∴

1

x

+

4

y

=2（

1

x

+

4

y

）×（x+y）=2（5+

y

x

+

4x

y

）≥2（5+2

y x × 4x y

）=18．
故选B．

点评：此题考查了平面向量与基本不等式的最值问题．此题难度适中，注意灵活利用y=ax+

b

x

的形式．