Question

3．如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD=DC，DE∥AB交AC于点E，BF⊥AC于F，交AD于P，PM⊥AB于M，下面五个结论中，正确的有①②⑤．（只填序号）
①PM=PF；②S_△ABD=2S_△DCE；③四边形AMPF是正方形；
④∠BPD=∠BPM；⑤$\frac{AM}{BD}$=$\frac{AP}{BP}$．

Answer 1

分析 ①由在△ABC中，AB=AC，BD=DC，根据三线合一的性质，可得∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，然后由角平分线的性质，证得结论；
②由中线的性质，可证得S_△ABD=S_△ACD=2S_△DCE；
③由∠BAC不一定等于90°，可得四边形AMPF不一定是正方形；
④由BP不是角平分线，可得∠BPD≠∠BPM；
⑤易证得△APM∽△BPD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．

解答 解：①∵在△ABC中，AB=AC，BD=DC，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，
∵BF⊥AC，PM⊥AB，
∴PM=PF；故正确；
②∵BD=DC，
∴S_△ABD=S_△ACD；
∵DE∥AB，
∴E是AC的中点，
∴S_△ABD=S_△ACD=2S_△DCE；故正确；
③∵∠BAC不一定为直角，
∴四边形AMPF不一定是正方形；故错误；
④∵BF不是角平分线，
∴∠ABP≠∠DBP，
∵∠BMP=∠BDP=90°，
∴∠BPM≠∠BPD；故错误；
⑤∵∠AMP=∠BDP=90°，
又∵∠APM=∠APF=∠BPD，
∴△APM∽△BPD，
∴$\frac{AM}{BD}$=$\frac{AP}{BP}$．故正确．
故答案为：①②⑤．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及正方形的判定．注意掌握等腰三角形三线合一的性质是关键．