Question

【题目】如图，直线AB：y＝﹣x﹣b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x＋6；（2）不变化，K（0，－6）

【解析】

（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式；

（2）过点Q作QH⊥x轴于点H，易证△BOP≌△PHQ，利用全等三角形的性质可得出OB=HP，OP=HQ，两式相加得PH+PO=BO+QH，即OA+AH=BO+QH，又OA=OB，可得AH=QH，即△AHQ是等腰直角三角形，进而证得△AOK为等腰直角三角形，求出OK=OA=6，即可得出K点的坐标．

解：（1）将A（6，0）代入y=-x-b，得：-6-b=0，

解得：b=-6，

∴直线AB的解析式为y=-x+6；

（2）不变化，K（0，－6）

过Q作QH⊥x轴于H，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=90°，PB=PQ，

∵∠BOA=∠QHA=90°，

∴∠BPO=∠PQH，

∴△BOP≌△HPQ，

∴PH=BO，OP=QH，

∴PH+PO=BO+QH，

即OA+AH=BO+QH，

又OA=OB，

∴AH=QH，

∴△AHQ是等腰直角三角形，

∴∠QAH=45°，

∴∠OAK=45°，

∴△AOK为等腰直角三角形，

∴OK=OA=6，

∴K（0，－6）．