Question

【题目】在等边中，点是边上一点.作射线，点关于射线的对称点为点.连接并延长，交射线于点.

（1）如图，连接，

①与的数量关系是__________；

②设，用表示的大小；

（2）如图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】(1) ①AB=AE；②∠BCF=；(2) AF-EF=CF，理由见详解.

【解析】

（1）①根据轴对称性，即可得到答案；

②由轴对称性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=，由是等边三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解；

（2）作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，易证FCG是等边三角形，得GF=FC，再证ACGBCF(SAS)，从而得AG=BF，进而可得到结论.

（1）①∵点关于射线的对称点为点，

∴AB和AE关于射线的对称，

∴AB=AE.

故答案是：AB=AE；

②∵点关于射线的对称点为点，

∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=，

∵是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

∴∠EAC=60°-2，AE=AC，

∴∠ACE=，

∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=-60°=.

（2）AF-EF=CF，理由如下：

作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，

∵∠BAF=∠BCF=，∠ADB=∠CDF，

∴∠ABC=∠AFC=60°，

∴FCG是等边三角形，

∴GF=FC，

∵是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∴∠ACG=∠BCF=.

在ACG和BCF中，

∵，

∴ACGBCF(SAS)，

∴AG=BF，

∵点关于射线的对称点为点，

∴AG=BF=EF，

∵AF-AG=GF，

∴AF-EF=CF.