Question

【题目】已如，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为，点在轴上，作直线.点关于直线的对称点刚好在轴上，连接.

（1）写出一点的坐标，并求出直线对应的函数表达式；

（2）点在线段上，连接、、，当是等腰直角三角形时，求点坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向原点运动，到达点时停止运动，连接，过作的垂线，交轴于点，问点运动几秒时是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1），（2）点坐标为，（3）点运动时间为1秒或秒或3.75秒.

【解析】

（1）由勾股定理求出AB=10，即可求出A=10，从而可求出，设C（0，m），在直角三角形中，运用勾股定理可求出m的值，从而确定点C的坐标，再利用待定系数法求出AC的解析式即可；

（2）由垂直平分可证，过点作轴于点，轴于点，证明可得DE=DF，设D（a，a）代入求解即可；

（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分类讨论即可得解：

（1），

，

，

，

，

，

点、关于直线的对称，

垂直平分，

，

，

设点坐标为，则，

，

在中，，

，

，

点坐标为.

设直线对应的函数表达式为，

把代入，

得，

解得，

直线对应的函数关系是为，

（2）垂直平分，

，

是等腰直角三角形，

过点作轴于点，轴于点.

，

，，

，

，

，

，

，

设点坐标为，

把点代入，

得

，

点坐标为，

（3）同（2）可得

又

①当时，

轴，

点运动时间为1秒.

②当时，

，

点运动时间为秒.

③当时，

设，则

在中，，

点运动时间为3.75秒.

综上所述，点运动时间为1秒或秒或3.75秒.