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【题目】如图,ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.

(1)求证:BO=DO;

(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AD的长.

【答案】(1)证明见解析,(2)2.

【解析】

试题分析:(1)通过证明△ODF与△OBE全等即可求得.

(2)由△ADB是等腰直角三角形,得出∠A=45°,因为EF⊥AB,得出∠G=45°,所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形,从而求得DG的长和EF=2,然后等腰直角三角形的性质即可求得.

试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴DC=AB,DC∥AB,

∴∠ODF=∠OBE,

在△ODF与△OBE中

∴△ODF≌△OBE(AAS)

∴BO=DO;

(2)解:∵BD⊥AD,

∴∠ADB=90°,

∵∠A=45°,

∴∠DBA=∠A=45°,

∵EF⊥AB,

∴∠G=∠A=45°,

∴△ODG是等腰直角三角形,

∵AB∥CD,EF⊥AB,

∴DF⊥OG,

∴OF=FG,△DFG是等腰直角三角形,

∵△ODF≌△OBE(AAS)

∴OE=OF,

∴GF=OF=OE,

即2FG=EF,

∵△DFG是等腰直角三角形,

∴DF=FG=1,∴DG==DO,

∴在等腰RT△ADB 中,DB=2DO=2=AD

∴AD=2.

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