Question

如图1，直线y=k₁x与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A，B，直线y=k₂x与反比例函数y=的图象交于点C，D，且k₁•k₂≠0，k₁≠k₂，顺次连接A，D，B，C，AD，BC分别交x轴于点F，H，交y轴于点E，G，连接FG，EH．

（1）四边形ADBC的形状是　 　；

（2）如图2，若点A的坐标为（2，4），四边形AEHC是正方形，则k₂=　 　；

（3）如图3，若四边形EFGH为正方形，点A的坐标为（2，6），求点C的坐标；

（4）判断：随着k₁、k₂取值的变化，四边形ADBC能否为正方形？若能，求点A的坐标；若不能，请简要说明理由．

Answer 1

解：（1）∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

∴OA=OB，OC=OD，

∴四边形ADBC是平行四边形．

故答案为：平行四边形；

（2）如图1，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，

∵四边形AEHC是正方形，

∴DA⊥AC，

∴四边形ADBC是矩形，

∴OA=OC．

∴AM=CN，

∴C（4，2），

∴2=4k₂，解得k₂=．

故答案为；；

（3）如图3所示，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，

∵四边形EFGH为正方形，

∴∠FEO=45°，EO=HO，

∴∠AEM=45°．

∵∠AME=90°，

∴∠EAM=∠AEM=45°．

∴AM=AE．

同理，CN=HN．

∵点A（2，6），

∴AM=ME=2，OM=6，

∴OE=OH=4．

设CN=HN=m，则点C的坐标为（4+m，m）．

∵反比例函数y=的图象过点C和点A（2，6），

∴m•（4+m）=12，解得m₁=2，m₂=﹣6（舍去）；

当m=2时，m+4=6，

∴点C的坐标为（6，2）；

（4）不能．

∵反比例函数y=（k≠0）的图象不能与坐标轴相交，

∴∠AOC＜90°，

∴四边形ADBC的对角线不能互相垂直，

∴四边形ADBC不能是正方形．