Question

【题目】(1)已知有一条抛物线的形状(开口方向和开口大小)与抛物线y=2x 相同，它的对称轴是直线x=2；且当x=1时，y=6，求这条抛物线的解析式。

(2)定义：如果点P(t,t)在抛物线上，则点P叫做这条抛物线的不动点。

①求出(1)中所求抛物线的所有不动点的坐标；

②当a、b、c满足什么关系式时,抛物线y=ax+bx+c上一定存在不动点。

Answer 1

【答案】（l）y=2x+8x4；（2）①P (,),P (4,4).②当△=(b1) 4ac0时,抛物线上一定存在不动点.

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c，由题意代入数值求出a，b，c即可；

（2）①设P（t，t）是抛物线的不动点，则2t+8t-4=t解得t的值，求得点P坐标；

②设P（t，t）是抛物线的不动点，则at+bt+c=t分两种情况讨论：当（b-1）-4ac≥0时，这个方程有实数解；当△=（b-1）-4ac≥0时，抛物线上一定存在不动点．

(1)设抛物线的解析式为y=ax+bx+c(a≠0)

由已知可得a=2,∴ .

解得：b=8，c=4

∴抛物线的解析式为y=2x+8x4

(2)①设P(t,t)是抛物线的不动点,则2t+8t4=t

解得：t =,t=4,∴不动点P (,),P (4,4)

②设P(t,t)是抛物线的不动点,则at+bt+c=t

∴at+(b1)t+c=0

∴当(b1) 4ac0时，这个方程有实数解，

∴当△=(b1) 4ac0时,抛物线上一定存在不动点.