[题目]如图.四边形ABCD为矩形.AB=4.BC=6.点E是BC边的中点.将△ABE沿直线AE折叠.点B落在点F处.连接CF.则sin∠ECF的值为 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=6，点E是BC边的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接CF，则sin∠ECF的值为___.

【答案】.

【解析】

先求得BE的长，然后依据勾股定理可求得AE的长，然后证明EF=EC，从而得到∠EFC=∠FCE，由翻折的性质可知∠BEA=∠FEA，依据三角形的外角的性质可证明∠AEB=∠FCE，最后依据三角函数的定义求解即可．

∵点E为BC的中点，

∴BE=EC=3.

在△ABE中,由勾股定理得：AE= =5

由翻折的性质可知：FE=BE，∠BEA=∠FEA，

∴FE=EC.

∴∠EFC=∠FCE.

∵∠CFE+∠FCE=∠BEA+∠AEF，

∴2∠ECF=2∠BEA.

∴∠ECF=∠BEA.

∴sin∠ECF=sin∠BEA=.

故答案为：

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如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.

∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，

∴△MDI∽△ANI，

∴，

∴①，

如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，

∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，

∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA，

∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，

∴△AIF∽△EDB，

∴，∴②，

任务：(1)观察发现：， (用含R，d的代数式表示)；

(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

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