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    【题目】如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=6，点E是BC边的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接CF，则sin∠ECF的值为___.

    【答案】.

    【解析】

    先求得BE的长，然后依据勾股定理可求得AE的长，然后证明EF=EC，从而得到∠EFC=∠FCE，由翻折的性质可知∠BEA=∠FEA，依据三角形的外角的性质可证明∠AEB=∠FCE，最后依据三角函数的定义求解即可．

    ∵点E为BC的中点，

    ∴BE=EC=3.

    在△ABE中,由勾股定理得：AE= =5

    由翻折的性质可知：FE=BE，∠BEA=∠FEA，

    ∴FE=EC.

    ∴∠EFC=∠FCE.

    ∵∠CFE+∠FCE=∠BEA+∠AEF，

    ∴2∠ECF=2∠BEA.

    ∴∠ECF=∠BEA.

    ∴sin∠ECF=sin∠BEA=.

    故答案为：

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    【题目】一辆汽车油箱中有汽油.如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少.已知该汽车平均耗油量为.

    （Ⅰ）计算并填写下表：

    （单位：）

    10

    100

    300

    …

    （单位：）

    …

    （Ⅱ）写出表示与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

    （Ⅲ）若，两地的路程约有，当油箱中油量少于时，汽车会自动报警，则这辆汽车在由地到地，再由地返回地的往返途中，汽车是否会报警？请说明理由.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：

    莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.

    如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．

    下面是该定理的证明过程（部分）：

    延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.

    ∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，

    ∴△MDI∽△ANI，

    ∴，

    ∴①，

    如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，

    ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，

    ∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，

    ∴∠DBE=∠IFA，

    ∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，

    ∴△AIF∽△EDB，

    ∴，∴②，

    任务：(1)观察发现：， (用含R，d的代数式表示)；

    (2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

    (3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

    (4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=3米．求点B到地面的垂直距离BC．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】据公开报道，2017年全国教育经费总投入为42557亿元，比上年增长9.43%，其中投入在各学段的经费占比（即所占比例）如图，根据图中提供的信息解答下列问题．

    （1）在2017年全国教育经费总投入中，义务教育段的经费总投入应该是多少亿元？

    （2）2016年全国教育经费总投入约为多少亿元？（精确到0.1）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】(1)已知有一条抛物线的形状(开口方向和开口大小)与抛物线y=2x 相同，它的对称轴是直线x=2；且当x=1时，y=6，求这条抛物线的解析式。

    (2)定义：如果点P(t,t)在抛物线上，则点P叫做这条抛物线的不动点。

    ①求出(1)中所求抛物线的所有不动点的坐标；

    ②当a、b、c满足什么关系式时,抛物线y=ax+bx+c上一定存在不动点。

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】某工厂制作两种手工艺品，每天每件获利比多105元，获利30元的与获利240元的数量相等．

    （1）制作一件和一件分别获利多少元？

    （2）工厂安排65人制作，两种手工艺品，每人每天制作2件或1件．现在在不增加工人的情况下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作，两种手工艺品的数量相等．设每天安排人制作，人制作，写出与之间的函数关系式．

    （3）在（1）（2）的条件下，每天制作不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】金堂三溪镇被中国柑桔研究所誉为“中国脐橙第一乡”，2016年12月某公司到三溪镇以2.5元/千克购得脐橙12000千克，这些脐橙的销售期最多还有60天，60天后库存的脐橙不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为0.1元/千克，经测算，脐橙的销售价格定为8元/千克时，每天可售出100千克;销售单价每降低0.5元，每天可多售出50千克.

    (1).如果按8元/千克的价格销售,能否在60天内售完?这些脐橙按此价格销售,获得的利润是多少?

    (2).如果按6元/千克的价格销售,这些脐橙获得的利润是多少?当这些脐橙销售价格定为x()元/千克时，可以使公司每天获得利润最大，每天的最大利润为多少？

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    【题目】（阅读）：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．

    （理解）：（1）如图，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

    （2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：________；

    （运用）：（3）边形有个顶点，在它的内部再画个点，以（）个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以．

    ①当，时，如图，　 　；当，　 　时，；

    ②对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得　 　（用含、的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

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