【题目】如图①,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30°,它的顶点A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为(5,5),AB=10,点P从点A出发,沿A→B→C的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图②),则点P的运动速度为 ;
(2)求(1)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的最大值及S取最大值时点P的坐标;
(3)如果点P,Q保持(1)中的速度不变,那么点P沿AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小,当点P沿这两边运动时,使∠OPQ=90°的点P有 个.
【答案】(1)2个单位/秒;(2)S=(2t+2)(10﹣t),当t=时,S有最大值为,此时P();(3)2.
【解析】试题分析:(1)由图形可知,当点P运动了5秒时,它到达点B,此时即可求出点P的运动速度.
过P作轴,表示出 配方求出最大值即可.
分两种情况进行讨论即可.
试题解析:(1)由图形可知,当点P运动了5秒时,它到达点B,此时 因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒,
点P的运动速度为2个单位/秒.
故答案是:2个单位/秒;
(2)如图①,过P作轴,
∵点P的运动速度为2个单位/秒.
∴t秒钟走的路程为2t,即
∵顶点B的坐标为
∴
∴
∴
∴ 又
∴ 即为中OQ边上的高,
而 可得
∴
∵
∴当时,S有最大值为,此时P.
(3)当点P沿这两边运动时, 的点P有2个.
①当点P与点A重合时,
当点P运动到与点B重合时,OQ的长是12单位长度,
作交y轴于点M,作轴于点H,
由得:
所以,从而
所以当点P在AB边上运动时, 的点P有1个.
②同理当点P在BC边上运动时,可算得,
而构成直角时交y轴于
所以从而的点P也有1个.
所以当点P沿这两边运动时, 的点P有2个.
故答案是:2.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,BN的长为_____.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
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【题目】图1是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的方法拼成一个边长为(m+n)的正方形.
⑴ 请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1: ;方法2: ;
⑵ 观察图2写出,,三个代数式之间的等量关系: ;
⑶ 根据⑵中你发现的等量关系,解决如下问题:若,求的值.
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【题目】定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
(1)如图,损矩形中,,则该损矩形的直径是线段______.
(2)探究:在上述损矩形内,是否存在点,使四个点都在以为圆心的同一圆上,若存在,请指出点的具体位置___________________________;若不存在,请说明理由.
(3)实践:已知如图三条线段,求作相邻三边长顺次为的损矩形(尺规作图,保留作图痕迹).
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【题目】如图①,为直线上一点,作射线,使,将一个直角三角尺如图摆放,直角顶点在点处,一条直角边在射线上. 将图中的三角尺绕点以每秒10°的速度按逆时针方向旋转(如图②所示),在旋转一周的过程中,第秒时,所在直线恰好平分,则的值为_________.
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