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【题目】如图RtABC中,B=90°CAB=30°,它的顶点A的坐标为(100),顶点B的坐标为(55),AB=10,点P从点A出发,沿ABC的方向匀速运动,同时点Q从点D02)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.

1)当点PAB上运动时,OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图),则点P的运动速度为

2)求(1)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的最大值及S取最大值时点P的坐标;

3)如果点PQ保持(1)中的速度不变,那么点P沿AB边运动时,OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,OPQ的大小随着时间t的增大而减小,当点P沿这两边运动时,使OPQ=90°的点P 个.

【答案】(1)2个单位/秒;(2)S=(2t+2)(10﹣t),当t=时,S有最大值为,此时P();(3)2.

【解析】试题分析:1)由图形可知,当点P运动了5秒时,它到达点B,此时即可求出点P的运动速度.

P轴,表示出 配方求出最大值即可.

分两种情况进行讨论即可.

试题解析:1)由图形可知,当点P运动了5秒时,它到达点B,此时 因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒,

P的运动速度为2个单位/秒.

故答案是:2个单位/秒;

2)如图①,过P轴,

∵点P的运动速度为2个单位/秒.

t秒钟走的路程为2t,即

∵顶点B的坐标为

即为OQ边上的高,

可得

∴当时,S有最大值为,此时P.

3)当点P沿这两边运动时, 的点P2个.

①当点P与点A重合时,

当点P运动到与点B重合时,OQ的长是12单位长度,

y轴于点M,作轴于点H

:

所以,从而

所以当点PAB边上运动时, 的点P1个.

②同理当点PBC边上运动时,可算得,

而构成直角时交y轴于

所以从而的点P也有1个.

所以当点P沿这两边运动时, 的点P2个.

故答案是:2

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