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【题目】问题背景

如图1,在正方形ABCD的内部,作DAE=ABF=BCG=CDH,根据三角形全等的条件,易得DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,从而得到四边形EFGH是正方形。

类比研究

如图2,在正ABC的内部,作BAD=CBE=ACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合)。

(1)ABD,BCE,CAF是否全等?如果是,请选择其中一对进行证明;

(2)DEF是否为正三角形?请说明理由;

(3)进一步探究发现,ABD的三边存在一定的等量关系,设,请探索满足的等量关系。

【答案】(1)全等;证明见解析;(2)是,理由见解析;(3)c2=a2+ab+b2

【解析】

试题分析:(1)由正三角形的性质得CAB=ABC=BCA=60°,AB=BC,证出ABD=BCE,由ASA证明ABD≌△BCE即可;、

(2)由全等三角形的性质得出ADB=BEC=CFA,证出FDE=DEF=EFD,即可得出结论;

(3)作AGBD于G,由正三角形的性质得出ADG=60°,在RtΔADG中,DG=b,AG=b, 在RtΔABG中,由勾股定理即可得出结论.

试题解析: (1)ABD≌△BCE≌△CAF;理由如下:

∵△ABC是正三角形,

∴∠CAB=ABC=BCA=60°,AB=BC,

∵∠ABD=ABC﹣2,BCE=ACB﹣3,2=3,

∴∠ABD=BCE,

ABD和BCE中,

∴△ABD≌△BCE(ASA);

(2)DEF是正三角形;理由如下:

∵△ABD≌△BCE≌△CAF,

∴∠ADB=BEC=CFA,

∴∠FDE=DEF=EFD,

∴△DEF是正三角形;

(3)作AGBD于G,如图所示:

∵△DEF是正三角形,

∴∠ADG=60°,

在RtADG中,DG=b,AG=b,

在RtABG中,c2=(a+b)2+(b)2

c2=a2+ab+b2

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