【题目】问题背景
如图1,在正方形ABCD的内部,作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究
如图2,在正△ABC的内部,作∠BAD=∠CBE=∠ACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合)。
(1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等?如果是,请选择其中一对进行证明;
(2)△DEF是否为正三角形?请说明理由;
(3)进一步探究发现,△ABD的三边存在一定的等量关系,设,,,请探索,,满足的等量关系。
【答案】(1)全等;证明见解析;(2)是,理由见解析;(3)c2=a2+ab+b2.
【解析】
试题分析:(1)由正三角形的性质得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,证出∠ABD=∠BCE,由ASA证明△ABD≌△BCE即可;、
(2)由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论;
(3)作AG⊥BD于G,由正三角形的性质得出∠ADG=60°,在RtΔADG中,DG=b,AG=b, 在RtΔABG中,由勾股定理即可得出结论.
试题解析: (1)△ABD≌△BCE≌△CAF;理由如下:
∵△ABC是正三角形,
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2,∠BCE=∠ACB﹣∠3,∠2=∠3,
∴∠ABD=∠BCE,
在△ABD和△BCE中,
,
∴△ABD≌△BCE(ASA);
(2)△DEF是正三角形;理由如下:
∵△ABD≌△BCE≌△CAF,
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA,
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD,
∴△DEF是正三角形;
(3)作AG⊥BD于G,如图所示:
∵△DEF是正三角形,
∴∠ADG=60°,
在Rt△ADG中,DG=b,AG=b,
在Rt△ABG中,c2=(a+b)2+(b)2,
∴c2=a2+ab+b2.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+m分别交x轴,y轴于A,B两点,已知点C(2,0).
(1)当直线AB经过点C时,点O到直线AB的距离是 ;
(2)设点P为线段OB的中点,连结PA,PC,若∠CPA=∠ABO,则m的值是 .
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【题目】为鼓励节约用水,某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费,即一个月用水10t以内(包含10t)的用户,收水费a元/t,一月用水超过10t的用户,超出的部分按b元/t(b>a)收费,设一户居民用水x t,应收水费y元,y与x之间的函数关系式如图所示:按上述分段收费标准,小兰家3月份和4月份分别交水费29.1元和20.8元,则小兰家4月份比3月份节约用水吨.
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【题目】如图,A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点,点P(a,4)在第一象限内,一过原点的直线y=2x与直线BD、直线AC同时过点P,直线BD交y轴于点D,且线段AO=2.
(1)求△AOP的面积;
(2)若S△BOP=3S△AOP , 求直线BD的解析式.
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【题目】如图为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为 m.
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【题目】如图,在ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E是AD的中点,如果OE=2,AD=6,那么ABCD的周长是( )
A.20
B.12
C.24
D.8
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b经过点A(﹣30,0)和点B(0,15),直线y=x+5与直线y=kx+b相交于点P,与y轴交于点C.
(1)求直线y=kx+b的解析式.
(2)求△PBC的面积.
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