Question

【题目】如图所示，以的边为直径作，点C在上，是的弦，，过点C作于点F，交于点G，过C作交的延长线于点E．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE＝．

【解析】

（1）连接OC，由∠A＝∠CBD可得，进而根据垂径定理可得OC⊥BD，然后根据CE∥BD即可推出OC⊥CE，问题即得解决；

（2）由AB为直径可得∠ACB＝90°，然后根据同角的余角相等得出∠A＝∠BCF，进而可得∠BCF＝∠CBD，进一步即可证得结论；

（3）根据（2）的结论和30°角的直角三角形的性质可求得GF和BF的长，再在直角△CEF中利用30°角的直角三角形的性质可求得EF的长，进一步即可求出结果.

（1）证明：连接OC，如图，

∵∠A＝∠CBD，∴，∴OC⊥BD，

∵CE∥BD，∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，

∵CF⊥AB，∴∠ACB＝∠CFB＝90°，

∵∠ABC＝∠CBF，∴∠A＝∠BCF，

∵∠A＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CBD，

∴CG＝BG；

（3）解：∵∠DBA＝30°，，∴，，

∵，，∴，，

∵CE∥BD，∴∠E＝∠DBA＝30°，

∴，

∴BE＝．