Question

【题目】综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点从对角线的点出发向点运动，连接并延长至点，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点.

操作发现

（1）点在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；

实践探究

（2）在点的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；

探究拓广

（3）请借助备用图2，探究当点不与点，重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出.

Answer 1

【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）①当时，；②当时，且点与点重合；③当时，

【解析】

（1）首先由正方形的性质得出，，，然后判定，进而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四边形内角和得出，进而得出，；

（2）首先过点作于点，作于点，得出，然后由对角线的性质得出，，进而判定四边形是正方形，即可判定，然后通过面积的等量代换得出CE，进而得出AE.

（3）根据题意，分三种情况讨论即可：①当时，②当时，③当时.

（1）.

理由如下：如图，连接.

∵是正方形的对角线，

∴，，.

在和中，

∴.

∴，.

∵四边形是正方形，

∴.

在四边形中，.

∵，

∴.

∴.

∴.

（2）如图，过点作于点，作于点.

∴.

∵点是正方形的对角线上的点，

∴，.

∴四边形是正方形.

在和中，

∴.

∴.

∴.

∵正方形与正方形重叠的面积是，

∴.解得.

∵正方形的边长为6，

∴.

∴.

∴此时的长为.

（3）分三种情况：

①当时，；

②当时，且点与点重合；

③当时，.