Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）连接OC交DE于点F，若⊙O的半径为3，DE=4，求

OF

CF

的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OE、BE，先证∠A+∠ACB=90°，再证明∠DEC=∠ACB，∠A=∠AEO，即可证出∠OED=90°，即可证出DE与⊙O相切；
（2）连接OD，先求出AC的长，证明BC与⊙O相切，根据切割线定理求出CE，再证明OD是△ABC的中位线，得出比例式即可求出OF：CF的值．

解答：解：（1）连接OE、BE，如图所示：
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°，
∵D是BC的中点，
∴DE=

1

2

BC=CD，
∴∠DEC=∠ACB，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∴∠AEO+∠DEC=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）连接OD，如图所示：
∵DE=

1

2

BC=4，
∴BC=8，
∵AB=2×3=6，
∴AC=

82+62

=10，
∵∠ABC=90°，
∴BC与⊙O相切，根据切割线定理得：BC²=CE•AC，
∴CE=

BC2

AC

=

82

10

=

32

5

，
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD=

1

2

AC=5，
∴

OF

CF

=

OD

CE

=

5

32 5

=

25

32

．

点评：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质、切线的判定、切割线定理以及中位线定理的运用；主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．