Question

在平面直角坐标系中，已知两点A（1，4）B（2，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不共线，求△ABC周长的最小值及相应点C的坐标．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，根据平行线分线段成比例定理就可求得OC′即可得出△ABC的周长最小时C点坐标，进而根据勾股定理就可求出△ABC的周长．

解答：解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（2，0），
∴B′点坐标为：（-2，0），AE=4，
则B′E=3，
∵C′O∥AE，
∴

B′O

B′E

=

OC′

AE

，
即

2

3

=

OC′

4

，
∴C′O=

8

3

，
∴点C′的坐标是（0，

8

3

），此时△ABC的周长最小值=AB′+AB=

32+42

+

(2-1)2+(4-0)2

=5+

17

．

点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质和勾股定理的运用，根据已知得出C点位置是解题关键．