Question

如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=1，且∠AEC=30°，求BE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OC，可证明OC∥AD，可证明CD为⊙O的切线；
（2）连接BC，可证得BC=BE，再根据含30°角的直角三角形的性质，可求得BC，可得出BE的长．

解答：解：（1）CD与⊙O相切，理由如下：
如图1，连接OC，

∵OC=OA，
∴∠OCA=∠BAC，
又∵∠BAC=∠CAM，
∴∠OCA=∠CAM，
∴OC∥AM，
∵AM⊥CD，
∴∠ECO=∠CDA=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD与⊙O相切；
（2）如图2，连接BC，

∵∠AEC=30°，∠CDA=90°，
∴∠BAD=60°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=BC，
在Rt△ACD中，CD=1，∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2，
在Rt△ABC中，AC=2，∠BAC=30°，
∴BC=AC•tan∠BAC=2×

3

3

=

2 3

3

，
∴BE=

2 3

3

．

点评：本题主要考查切线的判定和性质，掌握切线的两种证明方法是解题的关键，即①有切点时，连接圆心和切点，证明垂直，②当没有切点时，作垂直，证明距离等于半径．