Question

在四边形ABCD中，AC⊥CD，AC=CD，∠ABD=90°，BD平分∠APC，交AC于点T．求证：DT=2AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长DC和AB，它们相交于E，如图，先利用等角的余角相等得到∠BAT=∠CDT，则可根据“AAS”判断△ACE=≌△DCT，则AE=DT，由于BD平分∠APC，BD⊥AE，根据等腰三角形的性质得AB=EB，于是有DT=2AB．

解答：解：延长DC和AB，它们相交于E，如图，
∵AC⊥CD，
∴∠ACE=90°，
∵∠ABD=90°，∠ATB=CTD，
∴∠BAT=∠CDT，
在△ACE和△DCT中，

∠CAE=∠CDT ∠ACE=∠DCT AC=DC

，
∴△ACE=≌△DCT（AAS），
∴AE=DT，
∵BD平分∠APC，BD⊥AE，
∴AB=EB，
∴AE=2AB，
∴DT=2AB．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．灵活运用等腰三角形的性质．