Question

【题目】已知线段AB，只用圆规找AB的中点P．

作法：
② 以A为圆心，AB长为半径作圆；
②以B为圆心，AB长为半径在圆上连续截取，记截点为B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， B5；
③ 以B3为圆心，BB3长为半径画弧；以B为圆心，AB长为半径画弧，与前弧交于点C；
④以C为圆心，CB长为半径画弧交线段AB于点P．
结论：点P就是所求作的线段AB的中点．
（1）配合图形，理解作法，根据作图过程给予证明：点P是线段AB的中点．
（2）已知⊙O，请只用圆规把圆周四等分．（保留作图痕迹，不要求写作法）

Answer 1

【答案】
（1）解：连结B3A，B3C，CB，CP

，易知B3，A，B共线，记AB=r，由作图过程可知B3B=B3C=2r，CP=CB=r，又∵∠CBP公共，∴△B3CB∽△CBP，∴ ，即 ，∴BP= r，即P为AB中点；

（2）解：作法：①以已知圆半径为半径在圆上连续截取，得截点A、B、C、D、E、F；

②分别以A、D为圆心，AC长为半径，作弧，交于点M；

③以A为圆心，AM为半径，在圆上连续截取，得截点A1、D1、A2．

结论：A、A1、D、A2即圆周四等分点．

【解析】 （1）连结B3A，B3C，CB，CP，易知B3，A，B三点共线，记AB=r，由作图过程可知B3B=B3C=2r，CP=CB=r，然后判断出△B3CB∽△CBP，然后根据相似三角形对应边成比例就能得到BP=r , 进而可得出结论；
（2）以已知圆半径为半径在圆上连续截取，得截点A、B、C、D、E、F；分别以A、D为圆心，AC长为半径，作弧，交于点M；以A为圆心，AM为半径，在圆上连续截取，得截点A1、D1、A2从而可得出结论．

【考点精析】解答此题的关键在于理解圆心角、弧、弦的关系的相关知识，掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．