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【题目】RtABC中,∠ACB90°,D是△ABC内一点,连接ADBD.在BD左侧作RtBDE,使∠BDE90°,以ADDE为邻边作ADEF,连接CDDF

1)若ACBCBDDE

如图1,当BDF三点共线时,CDDF之间的数量关系为 

如图2,当BDF三点不共线时,中的结论是否仍然成立?请说明理由.

2)若BC2ACBD2DE,且ECF三点共线,求的值.

【答案】1DFCD,结论仍然成立.理由见解析;(2.

【解析】

1)①证明△BCD≌△ACFSAS),即可推出△DCF是等腰直角三角形解决问题;

②结论仍然成立.如图2中,连接CF.延长BDAF的延长线于H,设ACBHG.证明方法类似①;

2)如图3中,延长BDAFH.设BHACG.证明△CBD∽△CAF,推出,∠BCD=ACF,推出∠BCA=DCF=90°,证明∠ADC=90°,由CDAC=45,设CD=4kAC=5k,则AD=EF=3k,求出AFCE(用k表示)即可解决问题.

1如图1中,连接CF.设ACBFG

∵四边形AFED是平行四边形,

AFDEDEAF

BDDE

AFBD

∵∠BDE90°,

∴∠EDF=∠DFA90°=∠BCG

∵∠CGB=∠AGF

∴∠CBD=∠CAF

BCAC

∴△BCD≌△ACFSAS),

∴∠BCD=∠ACFCDCF

∴∠BCA=∠DCF90°,

∴△CDF是等腰直角三角形,

DFCD

故答案为DFCD

结论仍然成立.

理由:如图2中,连接CF.延长BDAF的延长线于H,设ACBHG

∵四边形AFED是平行四边形,

AFDEDEAF

BDDE

AFBD

∵∠BDE90°,

∴∠DEH=∠DHA90°=∠BCG

∵∠CGB=∠AGH

∴∠CBD=∠CAF

BCAC

∴△BCD≌△ACFSAS),

∴∠BCD=∠ACFCDCF

∴∠BCA=∠DCF90°,

∴△CDF是等腰直角三角形,

DFCD

2)如图3中,延长BDAFH.设BHACG

∵四边形AFED是平行四边形,

AFDEDEAF

∵∠BDE90°,

∴∠DEH=∠DHA90°=∠BCG

∵∠CGB=∠AGH

∴∠CBD=∠CAF

∴△CBD∽△CAF

,∠BCD=∠ACF

∴∠BCA=∠DCF90°,

ADEF

∴∠ADC+DCF180°,

∴∠ADC90°,

CDAC45,设CD4kAC5k,则ADEF3k

CFCD2k

ECEFCFk

DEAF

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