【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是△ABC内一点,连接AD,BD.在BD左侧作Rt△BDE,使∠BDE=90°,以AD和DE为邻边作ADEF,连接CD,DF.
(1)若AC=BC,BD=DE.
①如图1,当B,D,F三点共线时,CD与DF之间的数量关系为 .
②如图2,当B,D,F三点不共线时,①中的结论是否仍然成立?请说明理由.
(2)若BC=2AC,BD=2DE,,且E,C,F三点共线,求的值.
【答案】(1)①DF=CD,②结论仍然成立.理由见解析;(2).
【解析】
(1)①证明△BCD≌△ACF(SAS),即可推出△DCF是等腰直角三角形解决问题;
②结论仍然成立.如图2中,连接CF.延长BD交AF的延长线于H,设AC交BH于G.证明方法类似①;
(2)如图3中,延长BD交AF于H.设BH交AC于G.证明△CBD∽△CAF,推出,∠BCD=∠ACF,推出∠BCA=∠DCF=90°,证明∠ADC=90°,由CD:AC=4:5,设CD=4k,AC=5k,则AD=EF=3k,求出AF,CE(用k表示)即可解决问题.
(1)①如图1中,连接CF.设AC交BF于G.
∵四边形AFED是平行四边形,
∴AF=DE,DE∥AF,
∵BD=DE,
∴AF=BD,
∵∠BDE=90°,
∴∠EDF=∠DFA=90°=∠BCG,
∵∠CGB=∠AGF,
∴∠CBD=∠CAF,
∵BC=AC,
∴△BCD≌△ACF(SAS),
∴∠BCD=∠ACF,CD=CF,
∴∠BCA=∠DCF=90°,
∴△CDF是等腰直角三角形,
∴DF=CD.
故答案为DF=CD.
②结论仍然成立.
理由:如图2中,连接CF.延长BD交AF的延长线于H,设AC交BH于G.
∵四边形AFED是平行四边形,
∴AF=DE,DE∥AF,
∵BD=DE,
∴AF=BD,
∵∠BDE=90°,
∴∠DEH=∠DHA=90°=∠BCG,
∵∠CGB=∠AGH,
∴∠CBD=∠CAF,
∵BC=AC,
∴△BCD≌△ACF(SAS),
∴∠BCD=∠ACF,CD=CF,
∴∠BCA=∠DCF=90°,
∴△CDF是等腰直角三角形,
∴DF=CD.
(2)如图3中,延长BD交AF于H.设BH交AC于G.
∵四边形AFED是平行四边形,
∴AF=DE,DE∥AF,
∵∠BDE=90°,
∴∠DEH=∠DHA=90°=∠BCG,
∵∠CGB=∠AGH,
∴∠CBD=∠CAF,
∵,
∴,
∴△CBD∽△CAF,
∴,∠BCD=∠ACF,
∴∠BCA=∠DCF=90°,
∵AD∥EF,
∴∠ADC+∠DCF=180°,
∴∠ADC=90°,
∵CD:AC=4:5,设CD=4k,AC=5k,则AD=EF=3k,
∴CF=CD=2k,
∴EC=EF﹣CF=k,
∴DE=AF=,
∴.
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【题目】某商场推销一种书包,进价为30元,在试销中发现这种书包每天的销售量P(个)与每个书包销售价x(元)满足一次函数关系式.当定价为35元时,每天销售30个;定价为40元时,每天销售20个.
(1)求P关于x的函数关系式;
(2)如果要保证商场每天销售这种书包获利200元,求书包的销售单价应定为多少元?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C,同时动点Q从点A出发,以相同速度沿折线AC→CD运动到点D,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y,运动时间为x秒,则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
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【题目】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示(坐标系内正方形网格的单位长度为1):
(1)在网格内画出和△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1,使△A1B1C1和△ABC的位似比为2:1且△A1B1C1位于y轴左侧;
(2)分别写出A1、B1、C1三个点的坐标:A1 、B1 、C1 ;
(3)求△A1B1C1的面积为 .
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【题目】妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》,姐弟俩都想先睹为快.是小红对弟弟说:我们利用下面中心涂黑的九宫格图案(如图所示)玩一个游戏,规则如下:我从第一行,你从第三行,同时各自任意选取一个方格,涂黑,如果得到的新图案是轴对称图形.我就先读,否则你先读.小红设计的游戏对弟弟是否公平?请用画树状图或列表的方法说明理由.(第一行的小方格从左至右分别用A,B,C表示,第三行的小方格从左至右分别用D,E,F表示)
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【题目】如图,正三角形的边长为6cm,剪去三个角后成一个正六边形.
(1)求这个正六边形的边长.
(2)求这个正六边形的边心距.
(3)设这个正六边形的中心为O,一边为AB,则AB绕点O旋转一周所得的图形是怎样的?(作图表示出来)并求出这条线段AB划过的面积.
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【题目】如图,池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断,AC部分倒下,点A与水面上的点E重合,部分沉入水中后,点A与水中的点F重合,CF交水面于点D,DF=2m,∠CEB=30°,∠CDB=45°,求CB部分的高度.(精确到0.1m.参考数据:≈1.41,≈1.73)
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【题目】有甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字0、1、2;乙袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字-1、-2、0;先从甲袋中随机取出一个小球,记录标有的数字为x,再从乙袋中随机取出一个小球,记录标有的数字为y,确定点M的坐标为(x,y).
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标;
(2)求点M(x,y)在函数y=-x2-1的图象上的概率;
(3)若以点M为圆心,2为半径作⊙M,求⊙M与坐标轴相切的概率.
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【题目】已知关于x的方程x2-(k+1)x+k2+1=0
(1) 当k取何值方程有两个实数根
(2) 是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长,且矩形的对角线长为
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