Question

请仔细观察表中数据，并回答下列问题．

边数	3	4	5	6	7	…	n
从一个顶点出发的对角线的条数	0	1	2	3	4	…
上述对角线分成的三角形个数	0	2	3	4	5	…
总的对角线条数	0	2	5	9	14	…

（1）用含n的式子分别表示从一个顶点出发的对角线的条数，上述对角线分成的三角形个数，总的对角线条数．答案直接写在表格中．
（2）若一个多边形的总对角线数为54条，求该多边形的边数和以及内角和度数．

Answer 1

考点：多边形的对角线

专题：规律型

分析：（1）根据表格中所给数据发现：从一个顶点出发的对角线的条数比边数少3；分成三角形的个数比边数少2，从一个顶点出发有（n-3）条对角线，共n个顶点，因此共可以画n（n-3）条，还有一半是重复的，因此总条数为

n(n-3)

2

；
（2）根据（1）中对角线总条数公式可得：

n(n-3)

2

=54，再解可得边数，然后再利用内角和公式进行计算即可．

解答：解：（1）填表如下：

边数	3	4	5	6	7	…	n
从一个顶点出发的对角线的条数	0	1	2	3	4	…	n-3
上述对角线分成的三角形个数	0	2	3	4	5	…	n-2
总的对角线条数	0	2	5	9	14	…	n(n-3) 2

（2）由题意得：

n(n-3)

2

=54，
解得：n₁=12，n₂=-9（不合题意，舍去），
180°×（12-2）=1800°．
答：边数为12，内角和为1800°．

点评：此题主要考查了多边形的对角线、内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：

n(n-3)

2

（n≥3，且n为整数）．