Question

阅读以下内容，并回答问题：
若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形．
（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是

 

命题（填“真”或“假”）；
（2）在△ABC中，已知∠C=90°，△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（点C与点A、B不重合），D是半圆

ADB

的中点，C、D在直径AB的两侧，若存在点E，使AE=AD，CB=CE．求证：△ACE是奇异三角形．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,勾股定理

专题：阅读型

分析：（1）直接根据奇异三角形的定义直接得出结论；
（2）先根据勾股定理得出a²+b²=c²，再由Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a可知a²+c²=2b²，把a当作已知条件表示出b，c的值，进而可得出结论；
（3）连接BD，根据圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB与在Rt△ADB中可得出AC²+BC²=AB²，AD²+BD²=AB²，根据点D是半圆

ADB

的中点，得出

AD

=

BD

．故可得出AD=BD．通过等量代换可得出AC²+CB²=2AD²．再由CB=CE，AE=AD可得出AC²+CE²=2AE²故可得出结论．

解答：解：（1）∵若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形，
∴等边三角形一定是奇异三角形是真命题．
故答案为：真；

（2）∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²①．
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②．
由①②得：b=

2

a，c=

3

a．
∴a：b：c=1：

2

：

3

．

（3）连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵点D是半圆

ADB

的中点，∴

AD

=

BD

．
∴AD=BD．
∴AB²=AD²+BD²=2AD²．
∴AC²+CB²=2AD²．
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²．
∴△ACE是奇异三角形．

点评：本题考查的是奇异三角形的定义，熟知勾股定理及等边三角形的性质是解答此题的关键．