Question

【题目】如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．

（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）

（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（不写求解过程）

Answer 1

【答案】（1）抛物线的函数解析式为：y=x2；

（2）找法见解析

（3）两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．

【解析】

（1）根据题意可以建立合适的平面直角坐标系，从而可以求得抛物线的解析式；

（2）根据两点之间线段最多，作出相应的图形，写出作法即可；

（3）根据前面的坐标系和抛物线解析式可以求得点B的坐标，再根据三角形相似可以求得两根支柱用料最省时点O、P之间的距离，注意此处只写出答案即可．

解：（1）如图，

以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，

设抛物线的函数解析式为y=ax2，

由题意知点A的坐标为（4，8）．

∵点A在抛物线上，

∴8=a×42，

解得a=，

∴所求抛物线的函数解析式为：y=x2；

（2）找法：

延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，

则点A、D关于OC对称．

连接BD交OC于点P，则点P即为所求．

（3）如上图，由题意知点B的横坐标为2，

∵点B在抛物线上，

∴点B的坐标为（2，2），

又∵点A的坐标为（4，8），

∴点D的坐标为（﹣4，8），

设直线BD的函数解析式为y=kx+b，

∴，

解得：k=﹣1，b=4．

∴直线BD的函数解析式为y=﹣x+4，

把x=0代入y=﹣x+4，得点P的坐标为（0，4），

两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．