【题目】某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题,请你帮助他们解决:
(1)如图1,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,点E,F分别在AB,DC上,点G,H分别在AD,BC上且EF⊥GH,求的值.
(2)如图2,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,将矩形对折,使得B、D重叠,折痕为EF,求EF的长.
(3)如图3,四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=AD=8,BC=CD=4,AM⊥DN,点M,N分别在边BC,AB上,求的值.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)如图1,过点G作GM⊥CB于M,过点E作EN⊥CD于点N,可证四边形DCMG是矩形,四边形ABMG是矩形,四边形AEND是矩形,四边形BCNE是矩形,可得GM=CD=AB,EN=AD=BC,通过证明△EFN∽△GHM,可求解;
(2)如图2,连接BD交EF于点O,DE,BF,可证四边形DFBE是菱形,可得BO=DO,EO=FO,BD⊥EF,由勾股定理可求DE,DO,EO的长,即可求EF的长;
(3)过点D作EF⊥BC,交BC的延长线于F,过点A作AE⊥EF,连接AC,由“SSS”可证△ACD≌△ACB,可得∠ADC=∠ABC=90°,通过证明△ADE∽△DCF,可得AE=2DF,DE=2CF,由勾股定理可求DE的长,即可求解.
(1)如图1,过点G作GM⊥CB于M,过点E作EN⊥CD于点N,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,且GM⊥BC,EN⊥CD,
∴四边形DCMG是矩形,四边形ABMG是矩形,四边形AEND是矩形,四边形BCNE是矩形,
∴GM=CD=AB,EN=AD=BC,
∵EF⊥GH,∠BCD=90°,
∴∠EFC+∠GHC=180°,且∠DFE+∠EFC=180°,
∴∠EFN=∠GHC,且∠ENF=∠GMH=90°,
∴△EFN∽△GHM,
∴;
(2)如图2,连接BD交EF于点O,DE,BF,
∵将矩形对折,使得B、D重叠,
∴BE=DE,∠DEF=∠BEF,
∵AB∥CD,
∴∠DFE=∠BEF,
∴∠DFE=∠DEF,
∴DF=DE,且BE=DE,
∴BE=DF,且AB∥CD,
∴四边形DFBE是平行四边形,且DF=DE,
∴四边形DFBE是菱形,
∴BO=DO,EO=FO,BD⊥EF,
∵DE2=AE2+AD2,
∴DE2=9+(4﹣DE)2,
∴DE=,
∵BD===5,
∴DO=BO=,
∴OE===,
∴EF=2OE=;
(3)如图3,过点D作EF⊥BC,交BC的延长线于F,过点A作AE⊥EF,连接AC,
∵∠ABC=90°,AE⊥EF,EF⊥BC,
∴四边形ABFE是矩形,
∴∠E=∠F=90°,AE=BF,EF=AB=8,
∵AD=AB,BC=CD,AC=AC,
∴△ACD≌△ACB(SSS)
∴∠ADC=∠ABC=90°,
∴∠ADE+∠CDF=90°,且∠ADE+∠EAD=90°,
∴∠EAD=∠CDF,且∠E=∠F=90°,
∴△ADE∽△DCF,
∴,
∴AE=2DF,DE=2CF,
∵DC2=CF2+DF2,
∴16=CF2+(8﹣2CF)2,
∴DE=4(不合题意舍去),DE=,
∴BF=BC+CF==AE,
由(1)可知:==.
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【题目】如图,某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分,抛物线的顶点O落在水平面上,对称轴是水平线OC.点A、B在抛物线造型上,且点A到水平面的距离AC=4米,点B到水平面距离为2米,OC=8米.
(1)请建立适当的直角坐标系,求抛物线的函数解析式;
(2)为了安全美观,现需在水平线OC上找一点P,用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固,那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P?(无需证明)
(3)为了施工方便,现需计算出点O、P之间的距离,那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少?(不写求解过程)
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=36°,过点A作AD∥BC,与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与⊙O交于点F.
(1)求∠DAF的度数;
(2)求证:AE2=EFED;
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 ;
(3)△A2B2C2的面积是 平方单位.
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【题目】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程.原计划每天拆迁,因为准备工作不足,第一天少拆迁了.从第二天开始,该工程队加快了拆迁速度,第三天拆迁了.求:
该工程队第一天拆迁的面积;
若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同,求这个百分数.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,函数y=的图像与x、y轴分别交于点A、B.以AB为直径作M.
(1)求AB的长;
(2)点D是M上任意一点,且点D在直线AB上方,过点D作DH⊥AB,垂足为H,连接BD.
①当△BDH中有一个角等于BAO两倍时,求点D的坐标;
②当DBH=45°时,求点D的坐标.
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【题目】为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且AE:BE=2:1.设BC的长度是米,矩形区域ABCD的面积为平方米.
(1)求与之间的函数关系式,并注明自变量的取值范围;
(2)取何值时,有最大值?最大值是多少?
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