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【题目】某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题,请你帮助他们解决:

1)如图1,矩形ABCD中,ABaBCb,点EF分别在ABDC上,点GH分别在ADBC上且EFGH,求的值.

2)如图2,矩形ABCD中,AB4BC3,将矩形对折,使得BD重叠,折痕为EF,求EF的长.

3)如图3,四边形ABCD中,∠ABC90°ABAD8BCCD4AMDN,点MN分别在边BCAB上,求的值.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)如图1,过点GGMCBM,过点EENCD于点N,可证四边形DCMG是矩形,四边形ABMG是矩形,四边形AEND是矩形,四边形BCNE是矩形,可得GM=CD=ABEN=AD=BC,通过证明EFN∽△GHM,可求解;

2)如图2,连接BDEF于点ODEBF,可证四边形DFBE是菱形,可得BO=DOEO=FOBDEF,由勾股定理可求DEDOEO的长,即可求EF的长;

3)过点DEFBC,交BC的延长线于F,过点AAEEF,连接AC,由“SSS”可证ACD≌△ACB,可得∠ADC=ABC=90°,通过证明ADE∽△DCF,可得AE=2DFDE=2CF,由勾股定理可求DE的长,即可求解.

1)如图1,过点GGMCBM,过点EENCD于点N

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠B=∠C=∠D90°ABCDADBC,且GMBCENCD

∴四边形DCMG是矩形,四边形ABMG是矩形,四边形AEND是矩形,四边形BCNE是矩形,

GMCDABENADBC

EFGH,∠BCD90°

∴∠EFC+GHC180°,且∠DFE+EFC180°

∴∠EFN=∠GHC,且∠ENF=∠GMH90°

∴△EFN∽△GHM

2)如图2,连接BDEF于点ODEBF

∵将矩形对折,使得BD重叠,

BEDE,∠DEF=∠BEF

ABCD

∴∠DFE=∠BEF

∴∠DFE=∠DEF

DFDE,且BEDE

BEDF,且ABCD

∴四边形DFBE是平行四边形,且DFDE

∴四边形DFBE是菱形,

BODOEOFOBDEF

DE2AE2+AD2

DE29+4DE2

DE

BD5

DOBO

OE

EF2OE

3)如图3,过点DEFBC,交BC的延长线于F,过点AAEEF,连接AC

∵∠ABC90°AEEFEFBC

∴四边形ABFE是矩形,

∴∠E=∠F90°AEBFEFAB8

ADABBCCDACAC

∴△ACD≌△ACBSSS

∴∠ADC=∠ABC90°

∴∠ADE+CDF90°,且∠ADE+EAD90°

∴∠EAD=∠CDF,且∠E=∠F90°

∴△ADE∽△DCF

AE2DFDE2CF

DC2CF2+DF2

16CF2+82CF2

DE4(不合题意舍去),DE

BFBC+CFAE

由(1)可知:

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1)请建立适当的直角坐标系,求抛物线的函数解析式;

2)为了安全美观,现需在水平线OC上找一点P,用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PAPB对抛物线造型进行支撑加固,那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P?(无需证明)

3)为了施工方便,现需计算出点OP之间的距离,那么两根支柱用料最省时点OP之间的距离是多少?(不写求解过程)

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(1)画出ABC向下平移4个单位长度得到的A1B1C1,点C1的坐标是 

(2)以点B为位似中心,在网格内画出A2B2C2,使A2B2C2ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是   

(3)A2B2C2的面积是   平方单位.

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该工程队第一天拆迁的面积;

若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同,求这个百分数.

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1)求AB的长;

2)点DM上任意一点,且点D在直线AB上方,过点DDHAB,垂足为H,连接BD.

①当BDH中有一个角等于BAO两倍时,求点D的坐标;

②当DBH=45°时,求点D的坐标.

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(1)之间的函数关系式,并注明自变量的取值范围;

(2)取何值时,有最大值?最大值是多少?

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(1)求证:

(2)过点的延长线于点.求证:

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